分治法学习总结

一、寻找第 k 小元素的分治算法

给定一个有 n 个元素的无序序列，寻找其中第 k 小的元素，可以使用快速选择算法。这里的 k 从 1 开始计算，重复的元素也分别计数。

每次选取当前序列的第一个元素作为基准值 p，将序列分成三组：小于 p 的元素、等于 p 的元素和大于 p 的元素。假设前两组分别有 a 个和 b 个元素，就可以根据 k 判断目标的位置：

1. 如果 k≤a，就在小于 p 的那一组中继续寻找第 k 小的元素。
2. 如果 a<k≤a+b，直接返回 p。
3. 如果 k>a+b，就在大于 p 的那一组中寻找第 k−a−b 小的元素。

第三种情况需要调整 k，因为前面已经排除了 a+b 个元素。递归过程中，如果当前序列只剩一个元素，就直接返回这个元素。

例如，在 [6，2，8，4，1，7，3] 中寻找第 4 小的元素。以 6 为基准，小于 6 的元素有 [2，4，1，3]，共 4 个，所以继续在这一组中寻找第 4 小的元素。再以 2 为基准，小于 2 和等于 2 的元素各有 1 个，目标就变成 [4，3] 中的第 2 小元素，最终得到 4。

每次划分后，只需要处理目标所在的那一组，其余元素可以排除，因此不用完成整个序列的排序。

二、最好和最坏时间复杂度

一次划分需要扫描当前序列，规模为 n 时，耗时为 O(n)。

最好情况下，第一次选出的基准值恰好就是要找的元素，完成一次划分后就能得到答案，所以最好时间复杂度为 O(n)。如果每次划分后需要继续处理的元素数量大约减半，总耗时也可以写成：

n+n/2+n/4+…=O(n)。

虽然这种情况下递归层数是 O(log n)，但各层都需要扫描相应的元素，所以总时间仍然是 O(n)。

最坏情况下，每次只能排除一个元素，剩余问题的规模依次为 n−1、n−2、……、1。例如，在升序序列中，每次选择第一个元素作为基准，并寻找最大元素，就会出现这种情况。此时：

T(n)=T(n−1)+O(n)。

将各次划分的耗时相加，得到 n+(n−1)+…+1，所以最坏时间复杂度为 O(n²)。

基准值的选择会影响划分效果。随机选择基准值时，算法的期望时间复杂度为 O(n)，最坏时间复杂度仍为 O(n²)。

三、对分治法的体会和思考

学习这一章之前，我已经会二分查找，看到分治法时，很容易想到把一个区间分成两半。后来做了归并排序、逆序对统计和最大子段和，我发现每道题在划分之后要做的事情差别很大。

归并排序的过程比较清楚：先分别排好左右两段，再把它们合并。统计逆序对时，我一开始需要仔细想，为什么遇到 a[i]>a[j] 就能加上 mid−i+1。结合左右两段已经有序这个条件，才明白左边从 i 到 mid 的元素都大于 a[j]，可以一次统计这些逆序对。

最大子段和让我注意到了跨越中点的情况。只求左右两段的最大值会漏掉一部分答案，还要计算左边的最大后缀和与右边的最大前缀和，再将它们相加。做这类题时，需要先把答案可能出现的位置列完整，才能确定递归结果该怎样处理。

写代码时，我也在区间边界上出过错。归并的右侧指针应该从 mid+1 开始，我曾写成 right；处理右侧剩余元素时，指针不断向右移动，循环条件就应该是 j≤right。这些地方看着只是几行代码，写错以后，整个合并过程都会出问题。递归终止时返回什么也要看题意，例如最大子段和题目允许全为负数时返回 0，只有一个元素时就应该返回 max(a[left],0)。

第 k 小元素这道题和归并排序又有些不同。划分完成后，根据元素数量就能判断下一步该处理哪一组，因此只需要递归一边。分析复杂度时，也要把递归次数和每次处理的元素数量一起考虑，不能看到问题规模减半就直接写 O(log n)。

现在做分治题，我会先写清楚当前函数要解决什么问题、什么时候结束，以及递归返回的结果有什么用。遇到需要合并的题目，再检查有没有跨区间的情况。这样写代码时思路会清楚一些，也更容易发现边界上的错误。