Codeforces 1426F - Number of Subsequences （dp）

Codeforces Round #674 (Div. 3) F - Number of Subsequences

题意

给定一个长度为\(n\)字符串，仅包含\(\{a,b,c,?\}\)这四种字符。

字符\(?\)为通配符，可以匹配\(\{a,b,c\}\)三种字符中的任意一种。如果字符串内含有\(k\)个通配符，则最终可以得到\(3^k\)个不同字符串。

问在这\(3^k\)个不同字符串内有多少为"abc"的子序列，答案对\(10^9+7\)取模。

限制

\(3\leq n\leq 200000\)

思路

考虑同时对\(3^k\)个字符串进行dp

建立三种dp状态，分别表示处理到当前位置时子序列为"a","ab","abc"的个数

新建一个变量\(cnt\)，储存处理到某个位置时出现了多少个不同的字符串，初始时可以当作只有一种字符串

按顺序遍历给定的字符串：

如果当前字符为'a'，则表示子序列为"a"的个数需要新增\(cnt\)个。（\(dp[a]=dp[a]+cnt\)）

如果当前字符为'b'，则表示子序列"ab"可以由当前的'b'以及之前出现的'a'拼接出来，个数可以新增\(dp[a]\)个。（\(dp[ab]=dp[ab]+dp[a]\)）

如果当前字符为'c'，同样表示子序列"abc"可以由当前的'c'以及之前出现的"ab"拼接出来，个数可以新增\(dp[ab]\)个。（\(dp[abc]=dp[abc]+dp[ab]\)）

如果当前字符为'?'，可以通配为三种字符的任意一种，此时不同的字符串数量会变成原本的\(3\)倍。

这就表示，如果暂时不考虑这个'?'带来的影响，那么之前计数中出现的\(dp[a]\ /\ dp[ab]\ /\ dp[abc]\)都要变成原先的\(3\)倍。

再考虑'?'带来的影响，分别考虑它是三种字符的任意一种带来的影响，可以得到与上方三类讨论相同。（按顺序执行下述过程）

\[\begin{aligned} dp[a]&=dp[a]*3\\ dp[ab]&=dp[ab]*3\\ dp[abc]&=dp[abc]*3\\ dp[abc]&=dp[abc]+dp[ab]\\ dp[ab]&=dp[ab]+dp[a]\\ dp[a]&=dp[a]+cnt\\ cnt&=cnt*3 \end{aligned} \]

最后\(dp[abc]\)即代表答案。

程序

(46ms/1000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;

char s[200050];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    ll dp[3]={0,0,0},cnt=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(s[i]=='a')
            dp[0]=(dp[0]+cnt)%mod;
        else if(s[i]=='b')
            dp[1]=(dp[1]+dp[0])%mod;
        else if(s[i]=='c')
            dp[2]=(dp[2]+dp[1])%mod;
        else
        {
            dp[2]=(dp[2]*3+dp[1])%mod;
            dp[1]=(dp[1]*3+dp[0])%mod;
            dp[0]=(dp[0]*3+cnt)%mod;
            cnt=cnt*3%mod;
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[2]);
    
    return 0;
}