【图论】2-SAT
k-SAT 问题
\(SAT\)是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 \(k-\)适定性问题，简称\(k-SAT\)。而当\(k>2\)时该问题为NP完全的。所以我们只研究\(k=2\)的情况。
\(2-SAT\)，简单的说就是给出\(n\)个集合，每个集合有两个元素，已知若干个\(<a,b>\)，表示\(a\)与\(b\)矛盾（其中\(a\)与\(b\)属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选\(n\)个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。
Example 1
现有三个物品\(a,b,c\)，给出制约关系——
1、\(a,b\)必须同时选
2、\(b,c\)不能同时选
由这两个条件构成的问题即为\(2-SAT\)问题，它的每个制约关系只针对两个元素
该例子可行性显然（选\(a,b\)或者选\(c\)）
Example 2
现有三个物品\(a,b,c\)，给出制约关系——
1、\(a,b\)必须同时选
2、\(b,c\)必须同时选
3、\(a,c\)不能同时选
明显，该例子不存在可行解
2-SAT 在图中的表示
在描述中有提及，\(2-SAT\)问题的每个元素仅存在取或者不取这两种状态
这里我们将取视作\(1\)，不取视作\(0\)
所以对于每个元素\(x\)，可以将其拆成两个点\(x_0,x_1\)
对于这两个点，在存在可行解的情况下一定会选到其中一个点
如果答案中取的是\(x_0\)，则表示答案不取元素\(x\)
反之，如果答案中取的是\(x_1\)，则表示答案取了元素\(x\)
接下来就是将两点之间的“关系”转化成图形来表示——边
对于两个元素\(x,y\)之间的关系，可分为以下几种
- \(x,y\)必须同时选中：表示要么都选，要么都不选，所以连边情况为\(x_1\rightarrow y_1,y_1\rightarrow x_1\)
- \(x,y\)不能同时选中：选了\(x\)就不能选\(y\)，反之亦然，所以连边情况为\(x_1\rightarrow y_0,y_1\rightarrow x_0\)
- \(x,y\)至少选一个：三种情况，\(x/y/x\&y\)，即如果确定其中一个不选，则另一个就必须选，所以连边情况为\(x_0\rightarrow y_1,y_0\rightarrow x_1\)
- \(x,y\)必选且只能选一个：相互限制，确定选中另一个就不选，确定不选另一个就选中，所以连边情况为\(x_0\rightarrow y_1,x_1\rightarrow y_0,y_0\rightarrow x_1,y_1\rightarrow x_0\)
- \(x\)必须选：直接连接\(x_0\rightarrow x_1\)，强制选择
然后对图进行处理，即可开始求解问题
2-SAT 的 SCC 解法
主要靠建边后寻找强连通分量，缩点后确定可行解的方式求解
如果对于某个元素\(x\)，其\(x_0\)与\(x_1\)若在同一强连通分量内（可互相到达），则会造成条件冲突，显然无解
否则，缩点后图将会变成一张DAG，那就根据拓扑序来构造答案状态（即判断\(x_0\)与\(x_1\)的SCC编号大小）
如果\(x_0\)编号在\(x_1\)前（\(scc[x_0]<scc[x_1]\)），则取\(x=x_0\)，否则\(x=x_1\)
时间复杂度为\(O(n+m)\)
例题 1 （可行性判断）
题意
每对夫妻只能选择一人参加聚会，但由于某些人之间存在矛盾，不能同时让他们参加聚会，问是否存在一种方案使得聚会能够有\(n\)个人参加（即每对夫妻都能有一人参加）
解
显然，两夫妻如果其中一个不参加，另外一个就会参加（假定先不考虑冲突）
所以可以将一对夫妻看作是一个元素的\(x_0\)与\(x_1\)这两种情况，合法解下为二选一状态，正好也符合了题意
所以直接根据\(2-SAT\)的建图法进行建图，将有矛盾的两人（两点\(x,y\)）对应连边，符合“不能同时选中”的情况，所以建图方式为\(x_1\rightarrow y_0,y_1\rightarrow x_0\)
跑SCC缩点，最后判断是否存在一对\(\{x_0,x_1\}\)是在同一个SCC内的即可，如果存在则无解，不存在则有解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2050,maxm=4000050,maxk=10050;
struct Edge
{
int to,next;
}eg[maxm];
int pre[maxn],lowlink[maxn],sccno[maxn],head[maxn];
int STACK[maxk],STACKTop;
int dfs_clock,scc_cnt,tot;
bool ins[maxn];
inline void SPush(int a)
{
STACK[STACKTop++]=a;
}
inline void SPop()
{
STACKTop--;
}
inline bool SEmpty()
{
return STACKTop==0;
}
inline int STop()
{
return STACK[STACKTop-1];
}
void init(int nn)
{
dfs_clock=scc_cnt=STACKTop=tot=0;
memset(head,-1,(nn<<2)+5);
memset(sccno,0,(nn<<2)+5);
memset(pre,0,(nn<<2)+5);
memset(ins,false,(nn<<2)+5);
}
void addedge(int u,int v)
{
eg[tot].to=v;
eg[tot].next=head[u];
head[u]=tot++;
}
void tarjan(int in)
{
pre[in]=lowlink[in]=++dfs_clock;
SPush(in);
ins[in]=true;
for(int i=head[in];i!=-1;i=eg[i].next)
{
int &v=eg[i].to;
if(!pre[v])
{
tarjan(v);
lowlink[in]=min(lowlink[in],lowlink[v]);
}
else if(ins[v])
lowlink[in]=min(lowlink[in],pre[v]);
}
if(lowlink[in]==pre[in])
{
scc_cnt++;
while(1)
{
int x=STop();
SPop();
sccno[x]=scc_cnt;
ins[x]=false;
if(x==in)
break;
}
}
}
int n;
void solve()
{
int m,a1,a2,c1,c2;
scanf("%d",&m);
init(n<<1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&a1,&a2,&c1,&c2);
a1=a1<<1|c1;
a2=a2<<1|c2;
addedge(a1,a2^1);
addedge(a2,a1^1);
}
for(int i=0;i<(n<<1);i++)
{
if(!pre[i])
tarjan(i);
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(sccno[i<<1]==sccno[i<<1|1])
{
puts("NO");
return;
}
}
puts("YES");
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
solve();
return 0;
}
例题 2 （可行方案求解）
2018-2019 ACM-ICPC, Asia Seoul Regional Contest K - TV Show Game
题意
现有\(k(k>3)\)盏灯，仅有两种可能的颜色\(R/B\)
每个人都会选择\(3\)盏灯猜，猜中两盏及以上即可获奖
试确定一种灯的涂色方案，使得所有人都能获奖，不存在输出\(-1\)
解
根据“猜中两盏及以上即可获奖”这一条件可以得知
最多只能猜错一盏灯
假定三盏灯为\(x,y,z\)，假如猜错了\(x\)，那么必须让\(y,z\)都猜对
所以可以得到灯之间的关系为
表示如果猜错一盏，则必须让另外两盏灯都对
转化到题目中来，虽然我们能在“对/错”的基础上得出连边关系
但刚开始还是不知道指定的灯具体是什么颜色的，也就没办法判断对错
那么我们就可以假定所有的\(R\)色为对，\(B\)色为错，便能进行建边
其余套路不变，跑完SCC后判断是否同一位置两种状态在同一SCC内，是则无解
否则，按照sccno的大小来选择答案即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10050,maxm=60050,maxk=10050;
struct Edge
{
int to,next;
}eg[maxm];
int pre[maxn],lowlink[maxn],sccno[maxn],head[maxn];
int STACK[maxk],STACKTop;
int dfs_clock,scc_cnt,tot;
bool ins[maxn];
inline void SPush(int a)
{
STACK[STACKTop++]=a;
}
inline void SPop()
{
STACKTop--;
}
inline bool SEmpty()
{
return STACKTop==0;
}
inline int STop()
{
return STACK[STACKTop-1];
}
void init(int nn)
{
dfs_clock=scc_cnt=STACKTop=tot=0;
memset(head,-1,(nn<<2)+5);
memset(sccno,0,(nn<<2)+5);
memset(pre,0,(nn<<2)+5);
memset(ins,false,(nn<<2)+5);
}
void addedge(int u,int v)
{
eg[tot].to=v;
eg[tot].next=head[u];
head[u]=tot++;
}
void tarjan(int in)
{
pre[in]=lowlink[in]=++dfs_clock;
SPush(in);
ins[in]=true;
for(int i=head[in];i!=-1;i=eg[i].next)
{
int &v=eg[i].to;
if(!pre[v])
{
tarjan(v);
lowlink[in]=min(lowlink[in],lowlink[v]);
}
else if(ins[v])
lowlink[in]=min(lowlink[in],pre[v]);
}
if(lowlink[in]==pre[in])
{
scc_cnt++;
while(1)
{
int x=STop();
SPop();
sccno[x]=scc_cnt;
ins[x]=false;
if(x==in)
break;
}
}
}
int a[4];
char s[4][2];
bool vis[10050];
char ans[10050];
int main()
{
int k,n;
scanf("%d%d",&k,&n);
init(k<<1|1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=3;j++)
scanf("%d%s",&a[j],s[j]);
addedge(a[1]<<1|(s[1][0]=='B'),a[2]<<1|(s[2][0]=='R'));
addedge(a[1]<<1|(s[1][0]=='B'),a[3]<<1|(s[3][0]=='R'));
addedge(a[2]<<1|(s[2][0]=='B'),a[1]<<1|(s[1][0]=='R'));
addedge(a[2]<<1|(s[2][0]=='B'),a[3]<<1|(s[3][0]=='R'));
addedge(a[3]<<1|(s[3][0]=='B'),a[1]<<1|(s[1][0]=='R'));
addedge(a[3]<<1|(s[3][0]=='B'),a[2]<<1|(s[2][0]=='R'));
}
for(int i=2;i<=(k<<1|1);i++)
if(!pre[i])
tarjan(i);
for(int i=2;i<=(k<<1);i+=2)
if(sccno[i]==sccno[i|1])
{
puts("-1");
return 0;
}
for(int i=2;i<=(k<<1);i+=2)
{
int x=sccno[i],y=sccno[i|1];
if(vis[x])
{
ans[i>>1]='B';
continue;
}
if(vis[y])
{
ans[i>>1]='R';
continue;
}
if(x<y)
{
vis[x]=true;
ans[i>>1]='B';
}
else
{
vis[y]=true;
ans[i>>1]='R';
}
}
ans[k+1]='\0';
puts(ans+1);
return 0;
}
2-SAT 的 DFS 解法
DFS解法如果加上一堆优化后是可以做到\(O(n+m)\)的时间复杂度（不大会）
一般不大会用这种写法
但DFS能够直接求出字典序最小的解
所以也不失为一种好的暴力方法
例题 （字典序最小可行方案求解）
HDU 1814 - Peaceful Commission
题意
\(n\)个党派，每个党派有两个代表
每个党派需要派出一个代表参加聚会
但是可能有些代表之间关系不好，所以不能同时派出
问是否存在派出的方案，使得每个党派都能派出一人，且派出的人之间关系不会不好
存在则输出字典序最小解，不存在输出NIE
解
与上面的例题1差不多，也是道模板题
关键在于字典序最小的限制
所以直接跑2-SAT的DFS的板子就行
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=8050,maxm=20050;
struct Edge
{
int to,next;
}eg[maxm<<1];
bool vis[maxn<<1];
int head[maxn<<1],tot,sk[maxn<<1],skp;
bool dfs(int p)
{
if(vis[p^1]) //另外一人已经派出，则直接返回false
return false;
if(vis[p]) //否则如果自己已经派出，直接返回true
return true;
vis[p]=true;
sk[skp++]=p;
for(int i=head[p];i!=-1;i=eg[i].next)
if(!dfs(eg[i].to))
return false;
return true;
}
void init(int n)
{
n<<=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
vis[i]=false;
head[i]=-1;
}
skp=tot=0;
}
void addedge(int x,int y)
{
eg[tot].next=head[x];
eg[tot].to=y^1;
head[x]=tot++;
eg[tot].next=head[y];
eg[tot].to=x^1;
head[y]=tot++;
}
bool solve(int n)
{
for(int i=0;i<(n<<1);i+=2)
{
if(!vis[i]&&!vis[i|1])
{
skp=0;
if(!dfs(i))
{
while(skp)
vis[sk[--skp]]=false;
if(!dfs(i|1))
return false;
}
}
}
return true;
}
int main()
{
int n,m,a,b;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
init(n);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
a--;b--;
addedge(a,b);
}
if(solve(n))
{
for(int i=0;i<(n<<1);i++)
if(vis[i])
printf("%d\n",i+1);
}
else
puts("NIE");
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号