2020杭电多校 8K / HDU 6865 - Kidnapper's Matching Problem （线性基、KMP）

HDU 6865 - Kidnapper's Matching Problem

题意

给定\(n,m,k(m\leq n)\)，给定长度为\(n\)的数组\(\{a\}\)，长度为\(m\)的数组\(\{b\}\)，长度为\(k\)的集合\(\{S\}\)

定义\(2_⊕^S\)为\(\{S\}\)的任意子集的异或和（xor_sum）的可能结果所形成的新集合

定义两等长集合\(\{x\},\{y\}\)的\(matches\)函数

该函数会遍历判断\(x_i\ xor\ y_i\ \in\ 2_⊕^S\)

如果对于所有的\(i(i\leq|x|,|y|)\)，\(x_i\ xor\ y_i\ \in\ 2_⊕^S\)均成立，则\(matches\)返回\(1\)，否则返回\(0\)

问下式的值

\[\sum_{i=1}^{n-m+1}[(a_i,a_{i+1},\dots ,a_{i+m-1})\ matches\ b]\cdot2^{i-1}\ mod\ (10^9+7) \]

限制

\(1\leq T\leq 2\cdot10^4\)

\(1\leq n\leq2\cdot10^5,\ 1\leq m\leq \min(n,\ 5\cdot10^4),\ 1\leq k\leq100\)

\(0\leq a_i,b_i,S_i\lt2^{30}\)

\(\sum n\leq1.2\cdot10^6,\ \sum m\leq3\cdot10^5,\ \sum k\leq 6\cdot10^5\)

思路

先求出\(\{S\}\)的线性基\(bs\)

（下面是官方题解的内容）

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结论：假设\(x,y\)消去线性基\(bs\)中的位后得到的数分别位\(x',y'\)，那么下列关系式成立

\[x⊕y\in 2_⊕^S \iff x'=y' \]

证明：

充分性：根据线性基的性质，\(x⊕y\)必然能由\(x'⊕y'\)再异或上线性基\(bs\)内某些数得到，所以在\(x'=y'\)时\(x⊕y\in 2_⊕^S\)

必要性：反证，因为\(x',y'\)不包含线性基\(bs\)中的位（对应的位被消去），所以\(x'⊕y'\)也不会包含\(bs\)中的位。又因为\(x'\neq y'\)，所以\(x'⊕y'\neq0\)，则\(x'⊕y'\)一定包含无法用\(bs\)来表示的位，故\(x'⊕y'\notin 2_⊕^S\)

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也确实只要有了这个结论，让\(\{a\}\)与\(\{b\}\)中所有元素全部消去线性基\(bs\)中的位后，本题便变成了一道快速匹配模板题

由于\(n\geq m\)，且答案是根据\([Sub(a)\ matches\ b]\)来计算的，故选择\(\{a\}\)作为主串，选择\(\{b\}\)作为模式串，套KMP即可

主要注意对于题目公式中的\(i=1\)，实际上在KMP中主串光标应该是位于\(i=m\)位置才对

所以如果在主串第\(p\)个位置匹配成功，实际上应该加上\(2^{p-m+1}\)

由于按照顺序来匹配，\(2^n\)通过递推即可，其余的注意下细节就可以了

代码

(826ms/2000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;

int n,m,k,a[200050],b[200050],S[111];
int Next[200050];

struct LinearBase
{
    int v[35];
    void init()
    {
        memset(v,0,sizeof v);
    }
    void insert(int x)
    {
        for(int i=30;i>=0;i--)
            if(x>>i&1)
            {
                if(v[i])
                    x^=v[i];
                else
                {
                    v[i]=x; 
                    break;
                }
            }
    }
    int solve(int x)
    {
        for(int i=30;i>=0;i--)
            if(x>>i&1)
                x^=v[i];
        return x;
    }
}bs;

void getNext()
{
    Next[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=m;i++)
    {
        while(j>0&&b[j+1]!=b[i])
            j=Next[j];
        if(b[j+1]==b[i])
            j++;
        Next[i]=j;
    }
}

void KMP()
{
    int n2=1,ans=0;
    for(int i=1,j=0;i<=n;i++)
    {
        while(j>0&&b[j+1]!=a[i])
            j=Next[j];
        if(b[j+1]==a[i])
            j++;
        if(j==m)
        {
            ans=(ans+n2)%mod;
            j=Next[j];
        }
        if(i>=m)
            n2=(2LL*n2)%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}

void solve()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    bs.init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        scanf("%d",&S[i]);
        bs.insert(S[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=bs.solve(a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        b[i]=bs.solve(b[i]);
    getNext();
    KMP();
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}