快速幂

前言

本蒟蒻最近刚好刷完搜索部分，该刷分治算法了。第一题就是快速幂的模板题，今天我就顺着这道题讲讲刚学来的快速幂算法（话说快速幂好像没用到分治啊）吧。（写得不好勿喷）

原理

如果你要用电脑计算\(a^b\)，怎样快速求出解呢？
最容易想到的就是暴力运算\(b\)次，思路是简单，可惜速度不快。而相比较下，快速幂的速度就很快了。（看名字）
比如你想计算\(3^{13}\)，\(13\)在二进制下\((1101)_2\),所以\(13\)就可以表示为\(2^0+2^2+2^3\),根据\(a^{x+y}=a^x\times{a^y}\)可以推导出：
\(3^{13}=3^{2^0+2^2+2^3}=3^{2^0}\times{3^{2^2}}\times{3^{2^3}}\)
也就是将\(a^b\)变为多个\(a^{2^n}\)相乘的形式（\(n\)为二进制下\(1\)所在的位）

实现

讲完了原理，实现也就不难了。
首先我们要检查二进制每一位是否为\(1\)，将\(a\)自乘来表示\(a^{2^n}\)，即每检查一位就自乘一次，如果该位为\(1\)就乘到答案（\(ans\)）上
介绍一下c++下的位运算：

/*
>> 右移运算
比如1101001‬右移一位得到110100（最后一位没了）
& 与
这里运用&1，若最后一位为1就返回1，最后一位为0就返回0，起到检查位的作用
*/

所以我们不断用>>右移直到只剩下0，并用&来检查每一位是否为\(1\)。
代码实现：

long long quickpow(long long a,long long b)
{
    long long ans=1;  //用来储存答案
    while(b>0)  //循环，检查每一位
    {
        if(b&1) ans*=a;  //这一位为1，乘上a^2^n
        a*=a;  //自乘，表示a^2^n
	b>>=1;  //右移，下一位
    }
    return ans;  //返回答案
}

例题讲解

洛谷P1226【模板】快速幂||取余运算
输入\(b,p,k\)，输出\(b^p\bmod{k}\)。
这似乎可以直接输出\(ans\bmod{k}\)，但这样做会爆long long。
根据性质\((x\times{y})\bmod{z}=[(x\bmod{z})\times{(y\bmod{z})}]\bmod{z}\)，所以我们应该对每步运算取模（等同于对结果取模）。

long long quickpow(long long a,long long b,int m)  //增加参数m，计算a^b mod m
{
    long long ans=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
        {
             ans*=a;
             ans%=m;  //取模
        }
        a*=a;
        a%=m;  //取模
	b>>=1;
    }
    return ans%m;  //也要进行取模
}

注意：最终结果要再进行一次取模，例如计算\(2^0\bmod{1}\)，如果不取模就会返回1（正确答案是0）。

学习参考：https://www.luogu.com.cn/blog/cicos/quickpow#