算法刷题（LeetCode：300、最长递增子序列）

一、题目描述

　　给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

　　子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

　　来源：力扣（LeetCode）
　　链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence

　　题目分析

　　　　如他的题目所描述，需要求出【最长递增子序列】的【长度】。

　　　　几个关键词：最长、严格递增、长度。

　　　　此处的严格递增指：1,2,7,7的最长递增子序列长度为3，因为7和7相等，没有递增。

　　　　举几个例子：如{0,3,1,6,2,2,7}它的递增子序列有：{0,3,6,7} ,{0,1,6,7}, {0,1,2,7}以及一些更短的递增子序列，而我们的目标就是求出这些子序列中长度的最大值。

二、用到的算法思想

　　我解这道题用到的有：【动态规划】(Dynamic Programming 简称DP)。

　　解题方式并不唯一，不要局限于一种方法。

三、思路

　　动态规划解题四部曲（非准确）：找出原问题--->将原问题分解为规模更小的子问题--->当规模小到一定程度时，答案出现或者很容易求出--->将小的问题合并成原来的问题。

　　同样以数组 {0,3,1,6,2,2,7}为例：

　　　　我们可以很容易的有一种思路，前6个数的最长递增子序列，前5个数.........

　　　　验证这种思路是否可行：

　　　　　　{0,3,1,6,2,2,7} 的最长子序列长度为4，此时7在最长子序列当中。

　　　　在去掉7以后数组变为

　　　　　　{0,3,1,6,2,2} 最长子序列为3。说明7在最长子序列中，除去也不影响子问题的解。

　　　　再将最后的2一处数组，变为：

　　　　　　{0,3,1,6,2} 最长子序列依旧为3，说明除去的2不在最长子序列中，除去依旧不影响子问题的解。

　　　　......省略.....

　　　　由此可见，无论被移除数组的那一位是否在最长子序列中，都不影响子问题的解。因此，这个问题具有【最优子结构性质】。

　　　　所以，我们已经无限接近答案了：

　　　　　　建立一个dp数组，长度为【数组长度+1】。

　　　　　　初始化：dp[0] = 0; dp[i] = 1; (i = 1,2,3...n);

　　　　　　接着为表中填入数据，从数组arr第1位开始：填入1；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2位：arr[1]与arr[0]比较，看arr[1]是否>arr[0]（即是否递增），如果递增，则判断dp[i+1]和dp[i] + 1两者谁大。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第3位：同2，但是需要循环，直到数组下标为0的位置.......

　　　　　　{0,3,1,6,2,2,7} 填入的最终dp数组应该为: {0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}。

　　　　需要注意的是：最大值不一定在dp数字最后一位，如：{0,3,1,6,2,2,7,0,0,0} 它最终的dp数组为：{0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 1,1, 1}， 所以需要循环一次dp数组找出最大值。

四、代码实现（Java）

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length+1];
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            dp[i+1] = 1;
            for(int j = i; j >= 0; j--){
                if(nums[i] > nums[j]){
                    dp[i+1] = getMax(dp[j+1]+1, dp[i+1]);
                }
            }
        }
        int max = 0;
        for(int i = 0; i <= nums.length; i++){
            if(dp[i] > max)
                max = dp[i];
        }
        return max;
    }
    public int getMax(int m, int n){
        return m > n ? m : n;
    }
}

五、完成时间

　　　　2021-01-28　　15:48:57

　　　　最近几天在研究动态规划，刷了七八道题，渐渐地有了一些感觉，但动态规划也分好多种类，比如区间dp，背包dp，树形dp等等，需要多加努力。