ARC214 补题

前言

我没打这场啊。

题解

只会做 A。

A - Same Sum Grid Path

容易发现斜着的格子数字相等是一个必要条件（可以构造两条路径前后相交，中间不同），举一下例又发现是充要条件。

然后就可以做了。

B - Missing Number in Graph

学生转换成一个点到所有点的异或值发现还是不会。

学生用上了字典树发现还是不会。

哈哈，原来正解不用字典树，那我是怎么过了 22 个点来着。

设 \(v\) 上放的卡片为 \(c_v\)，设 \(c_1 = x\)，那么我们可以通过 dfs 推出来其他的点表达为 \(c_v = x \oplus d_v\)。

设吃掉的那个卡片为 \(ans\)，根据题目描述有等式 \(\mathop{\oplus}\limits_{i=0}^{n} = \mathop{\oplus}\limits_{i=1}^{n} c_i \oplus ans\)，我们可以不管前面的定值。

替换一下就有 \(\mathop{\oplus}\limits_{i=1}^{n} (x \oplus d_i)\)，也就等于 \(\left ( \mathop{\oplus}\limits_{i=1}^{n} x\right ) \oplus \left ( \mathop{\oplus}\limits_{i=1}^{n} d_i\right )\)，后面又是定值，所以只跟前面式子有关，也就和 \(n\) 的奇偶性有关。

当 \(n\) 为偶数，答案确定；当 \(n\) 为奇数，答案至少有两个，所以输出 -1。

C - Divide into 4 Teams

设 \(sum = \sum p_i\)，当 \(sum\) 为奇数时显然答案为 \(0\)。

先给结论，令 \(x\) 为满足 \(\sum\limits_{i \in U} p_i = \frac{sum}{2}\) 的数量，其中 \(U\) 是下标序列的一个子集。那么答案为 \(x^2 - 2x\)。

因为要求是四个集合相加，我们想尽可能简洁地重新定义这四个集合且使他们不重不漏，故我们可以令：

1. \(\sum A = \sum(U \cap V)\)。（属于 \(U\) 且属于 \(V\)）
2. \(\sum B = \sum(\overline{U} \cap \overline{V})\)。（不属于 \(U\) 且不属于 \(V\)）
3. \(\sum C = \sum(U \setminus V)\)。（属于 \(U\) 且不属于 \(V\)）
4. \(\sum D = \sum(V \setminus U)\)。（属于 \(V\) 且不属于 \(U\)）

其中 \(U, V\) 分别是序列的一个子集。

因为 \(\sum A = \sum B\)，\(\sum C = \sum D\)，两式相加得 \(\sum A + \sum C = \sum B + \sum D = \frac{sum}{2}\)。

替换得 \(\sum(U \cap V) + \sum(U \setminus V) = \sum(\overline{U} \cap \overline{V}) + \sum(V \setminus U) = \frac{sum}{2}\)。

所以 \(\sum U = \sum \overline{U} = \frac{sum}{2}\)。

同理也可以得到 \(\sum V = \sum U = \frac{sum}{2}\)。

那么 \(U\) 的个数就有 \(x\) 个，对应 \(V\) 也有 \(x\) 个，所以如果可以为空就有 \(x^2\) 个。（\(U\)，\(V\) 互相独立）

而当 \(U = V\) 时，\(C = D = \emptyset\)；当 \(U = \overline{V}\)，\(A = B = \emptyset\)，所以要减 \(2x\)。

然后就证明了答案为 \(x^2 - 2x\)。

\(\color{red} \#\) 所以以后看到分成四个组可以想到用两个集合表示来简化。