二项式定理&二项式反演

内容

二项式定理

即 \((a+b)^n = \sum\limits_{i=0}^{n}a^{i}b^{n-i}\binom{n}{i}\)。

二项式反演

将 \(a=1, b=-1\) 代入二项式定理可得推论式 \(\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i}\binom{n}{i} = [n=0]\)。

分离式：\(\binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n - k}{m - k}\)，根据组合意义易证。

现有反演： \(f(n) = \sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\)。

证明

利用推论式与分离式进行证明。

\[\begin{array}{c} \sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\\ =\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} \sum\limits_{j=0}^{i} \binom{i}{j} g(j)\\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \sum\limits_{i=j}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} \binom{i}{j} g(j)\\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \sum\limits_{i=j}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{i-j} g(j)\\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \binom{n}{j} g(j)\sum\limits_{i=j}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n-j}{i-j}\\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \binom{n}{j} g(j)\sum\limits_{i+j=j}^{n} (-1)^{n-i-j} \binom{n-j}{i+j-j}\\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \binom{n}{j} g(j)\sum\limits_{i=0}^{n-j} (-1)^{n-j-i} \binom{n-j}{i}\\ =\sum\limits_{j=0}^{n} \binom{n}{j} g(j)[n = j]\\ = g(n) \end{array} \]

两个基本形式：

1. 恰好转换为至多：\(f(n) = \sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\)。

2. 恰好转换为至少：\(f(m) = \sum\limits_{i=m}^{n} \binom{i}{m} g(i) \Leftrightarrow g(m) = \sum\limits_{i=m}^{n} (-1)^{i-m} \binom{i}{m} f(i)\)。

例题（持续补充）

ABC423F Loud Cicada

1. \(g(m)\) 表示恰好 \(m\) 只蝉。
2. \(f(m)\) 表示至少 \(m\) 只蝉。

有 \(f(m) = \sum\limits_{i=m}^{n} \binom{i}{m} g(i) = \sum_{\mathrm{popcount(S)} = m} \lfloor \frac{Y}{\mathrm{lcm}_{u\ \in\ S}\ a_u} \rfloor\)。

反演就完了。

有人可能疑惑，这里也是算的 \(\mathrm{popcount(S)} = m\)，为什么是至少呢？因为其他的蝉叫不叫不确定。

P4859 已经没有什么好害怕的了

1. \(g(m)\) 表示恰好有 \(m\) 对 \(a_i > b_i\)。
2. \(f(m)\) 表示至少有 \(m\) 对 \(a_i > b_i\)。

先给 \(a, b\) 序列分别排序，\(f(m)\) 不好直接求，考虑定义 \(dp_{i, j}\) 表示在 \(a\) 中前 \(i\) 个数选出 \(j\) 对 \(a > b\) 的方案数。

1. 不考虑 \(a_i\)，显然 \(dp_{i,j} = dp_{i-1, j}\)。
2. 考虑 \(a_i\)，令 \(p\) 表示 \(a_i > b\) 的 \(b\) 的个数，显然 \(dp_{i, j} = dp_{i-1, j-1} \times (p - j + 1)\)。

这个你可以双指针求。

所以 \(f(m) = dp_{n, m}(n - m)!\)，最后要求 \(g(\frac{n + k}{2})\)，自证不难。