上下界网络流

上下界无源汇可行流

求每条边流量的一组可行解，满足每个点的入流量等于出流量。

新建超级源，超级汇，把\([u,v,high,low]\)的限制改为\([u,v,high-low],[s,v,low],[u,t,low]\)，然后跑最大流。判断一下下界之和是否等于最大流即可。

上下界无源汇费用流

在上一题建的图中加权即可，新建的边不用，跑完判断有解后再计入答案

上下界有源汇最大流

源点\(s\)，汇点\(t\)。超级源\(ss\)，超级汇\(tt\)。首先判断是否存在可行流，加一条\([t,s,inf]\)转成无源汇有上下界的可行流问题。

可以时，再从\(s\)到\(t\)跑一个最大流即为答案。

简要证明：

之前超级源汇是跑满了，再跑不会经过超级源汇。

由于连了\([t,s,inf]\)，可行流的流量已经在\([t,s,inf]\)边中，跑最大流的时候，\([t,s,inf]\)反向边就有可行流的流量，就不用加了。

上下界有源汇费用流

直接加上费用即可

上下界有源汇最小流

先不加\([t,s,inf]\)，跑超级源到汇的最大流，再加上\([t,s,inf]\)，再求最大流，此时\([t,s]\)的流量就是答案。

简要证明：

（好好利用循环流）

第一遍并无\([t,s,inf]\)，所以\([s,t]\)的流量已尽力流向其它边 。

加上\([t,s,inf]\)后，流过这条边是流不到其他边的流量，尽可能减少\([t,s]\)流量，减小答案。