莫比乌斯反演&杜教筛学习笔记

莫比乌斯反演&杜教筛学习笔记

\(O(n^{\frac23})\)解决积性函数前缀和

• 狄利克雷卷积

\[h(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac n d) \]

\(\varepsilon\)为狄利克雷卷积的单位元

两个积性函数卷积后仍为积性函数

• 例子

\[\varepsilon=\mu*1 \]

\[d=1*1 \]

\[\sigma=d*1 \]

\[\phi=\mu*Id \]

\[Id=\phi*1 \]

• 莫比乌斯反演

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d) \]

\[g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac n d) \]

• 另

\[d(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1] \]

常用方法：

1. 变换顺序
2. 用T代乘积
3. 换元
4. 枚举约数
5. 卷积
6. 反演
7. 转化思考角度

• 反演扩展

\[f(n)=\sum_{i=1}^nt(i)g(\lfloor\frac n i\rfloor) \]

\[g(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)t(i)f(\lfloor\frac n i\rfloor) \]

• 推式子

\[S(n)=\sum_{i=1}^nf(i) \]

\[构造一个h=g*f(g,h均需构造,*代表狄利克雷卷积) \]

\[\sum_{i=1}^nh(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac i d) \]

\[=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n d\rfloor}f(i) \]

\[=\sum_{d=1}^ng(d)S(\lfloor\frac n d\rfloor) \]

\[\sum_{i=1}^nh(i)=g(1)S(n)+\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac nd\rfloor) \]

\[S(n)=\frac{\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac nd\rfloor)}{g(1)} \]

要求：\(h(i)\)前缀要好求

一般用线性筛筛一部分，大概为\(n^{\frac23}\)，最快

数学加油ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ