Min_25筛

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求\(ans=\sum_{i=1}^nf(i),n\in[1,1e10]\)

满足：

1. \(f(p)\)是关于p的多项式
2. \(f(p^c)\)快速求得（通常是\(O(1)\)）
3. \(f(n)\)为积性函数

时间复杂度\(O(\frac{n^{\frac34}}{logn})\)

预处理

\[g(n,j)=\sum_{i=1}^n[i\in P||minp(i)>p_j]f`(i) \]

初始值\(g(n,0)\)是把所有数当成质数的函数和（此时的\(f`(i)\)已被拆成完全积性函数）

求

\[g(n,|P|)=\sum_{i=1}^n[i\in P]f`(i) \]

考虑埃氏筛的过程，每次把最小质因子为\(p_j\)的筛去

转移

\[g(n,j)=g(n,j-1),p_j^2>n \]

\[g(n,j)=g(n,j-1)-f`(p_j)(g(\lfloor\frac n {p_j}\rfloor,j-1)-\sum_{i=1}^{j-1}[i\in P]f`(i)),p_j^2<=n \]

但这样是\(O(n|P|)\)的，考虑优化，发现n的取值只有\(\sqrt n\)种，于是“手动”离散化，第二维可滚动掉，时间\(O(\sqrt n|P|)\)，空间\(O(\sqrt n)\)

计算答案

\[s(n,j)=\sum_{i=1}^n[minp(i)\ge P_j]f(i) \]

\[ans=s(n,1) \]

转移：(分质数和合数，合数部分枚举最小质因子及其次数)

\[s(n,j)=g(n,|P|)-\sum_{i=1}^{j-1}f(p_i)+\sum_{p_k\leq \sqrt x,k\ge j}\sum_{e>0,p_k^e\leq n}f(p_k^e)(s(\lfloor\frac n{p_k^e}\rfloor,k+1)+[e>1]) \]

采用递归方式计算

注意：1不是质数也不是合数，最后要加上

例：LOJ6053简单的函数

求\(ans=\sum_{i=1}^nf(i)\%1000000007,n\in[1,1e10]\)

性质：

1. \(f(1)=1\)
2. \(f(p^c)=p\oplus c\)
3. \(f(ab)=f(a)f(b),gcd(a,b)=1\)

SOL：

除2外的质数\(f(p)=p-1\)拆成\(f_1(p)=p,f_2(p)=1\)

对应求出\(g(n,j),h(n,j)\)

初值

\[s(n,j)=g(n,|P|)-h(n,|P|)-\sum_{i=1}^{j-1}f(p) \]

注意：2要特判一下

CODE：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f==1?x:-x;
}
const int N=250004,mod=1e9+7,inv2=5e8+4;
int n,sq,tot,m,h[N],g[N],sp[N],b[N],pri[N],id1[N],id2[N],w[N];
inline void pre(int mx){
	for(int i=2;i<=mx;i++){
		if(!b[i]){pri[++tot]=i;sp[tot]=sp[tot-1]+i;}
		for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=mx;j++){
			b[pri[j]*i]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
}
int S(int x,int y){
	if(x<=1||pri[y]>x)return 0;
	int k=(x<=sq)?id1[x]:id2[n/x],ret=(g[k]-h[k]-sp[y-1]+y-1)%mod;
	if(y==1)ret+=2;
	for(int i=y,t1,t2;i<=tot&&pri[i]*pri[i]<=x;i++){
		t1=pri[i];t2=pri[i]*pri[i];
		for(int j=1;t2<=x;j++,t1=t2,t2*=pri[i])
			(ret+=S(x/t1,i+1)*(pri[i]^j)%mod+(pri[i]^(j+1)))%=mod;
	}
	return ret;
}
signed main(){
	n=read();sq=sqrt(n);
	pre(sq);
	for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
		j=n/(n/i);
		w[++m]=n/i;//手动离散化
		g[m]=(w[m]%mod)*(w[m]%mod+1)%mod*inv2%mod-1;//f1(x)=x
		h[m]=(w[m]-1)%mod;//f2(x)=1 拆成积性函数
		if(w[m]<=sq)id1[w[m]]=m;
		else id2[j]=m; 
	}
	for(int j=1,k;j<=tot;j++)
		for(int i=1;i<=m&&pri[j]*pri[j]<=w[i];i++){
			k=(w[i]/pri[j]<=sq)?id1[w[i]/pri[j]]:id2[n/(w[i]/pri[j])];
			(g[i]-=pri[j]*(g[k]-sp[j-1]))%=mod;
			(h[i]-=h[k]-j+1)%=mod;
		} 
	cout<<(S(n,1)+1+mod)%mod;
	return (0-0);
}