自然幂数和

\[\sum_{i=1}^ni^k \]

1. 递推

   令其为\(f(n,k)\)

   \[(i+1)^{k+1}-i^{k+1}=C_{k+1}^1i^k+C_{k+1}^2i^{k-1}+…+C_{k+1}^ki+1 \]

   相加得

   \[(n+1)^{k+1}-1=C_{k+1}^1\sum_{i=0}^ni^k+C_{k+1}^2\sum_{i=0}^ni^{k-1}+…+C_{k+1}^k\sum_{i=0}^ni+n \]
   \[f(n,k)=\frac1{k+1}((n+1)^{k+1}-\sum_{i=2}^{k+1}C_{k+1}^if(n,k+1-i)-1) \]

   时间复杂度\(O(k^2)\)

2. 拉格朗日插值

   明显是一个关于n的k+1次多项式，可以做到\(O(k)\)

3. 斯特林数（见组合数学）

4. 伯努利数

   \[f(n,k)=\frac1{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^iB_{k+1-i}(n+1)^i \]

   \(B_0=1\)，对于\(n>0\)有

   \[\sum_{i=0}^nC_{n+1}^iB_i=0 \]

5. 多项式差分

   \(g(n)=n^k\)这一函数的差分表的第0条对角线为\(c_0…c_k\)

   \[\sum_{i=0}^nf(i)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^kc_jC_i^j \]
   \[=\sum_{j=0}^k\sum_{i=0}^nc_jC_i^j \]
   \[=\sum_{j=0}^kc_jC_{n+1}^{j+1} \]