! 概率生成函数——CTSC2006歌唱王国

概率生成函数

\(X\)是非负整数集上的离散随机变量，那么\(X\)的概率生成函数为：

\(F(z)=B(z^X)=\sum_{i=0}^{oo}Pr(X=i)z^i\)

基础性质：

1. \(F(1)=\sum_{i=0}^{oo}Pr(X=i)=1\)
2. 一阶导数是期望\(E(X)=F'(1)=\sum_{i=0}^{oo}iPr(X=i)\)
3. ……

用概率生成函数解决这类问题的方法：

1. 定义一个概率生成函数与辅助函数
2. 实际情况找特征列方程
3. 代值和求导解出\(F'(1)\)

例题：CSTC2006歌唱王国

题意：

给定一个长度为\(L\)的序列\(A\)，每次往\(B\)序列末尾等概率加入\([1,m]\)里的一个数，求\(A\)在\(B\)中出现的期望次数。\(L<=1e5\)

SOL:

令\(f_i\)为结束时长度为\(i\)的概率，其生成函数为\(F(x)\)

令辅助数组\(g_i\)为到长度为\(i\)还没有结束的概率，其生成函数为\(G(x)\)

\(ans=F'(1)\)

容易发现：

\[F(x)+G(x)=1+G(x)*x \]

\[G(x)*(\frac{1}{m}x)^L=\sum_{i=1}^La_i*F(x)*(\frac{1}{m}x)^{L-i} \]

\(a_i\)表示\(A[1,i]\)是否为\(A\)的一个\(border\)，即\(A[1,i]\)是否等于\(A[L-i+1,L]\)，是为1，否为0

将一式求导并代入\(x=1\)得：

\[F'(x)+G'(x)=G(x)+G'(x)*x \]

\[F'(1)=G(1) \]

将\(x=1\)代入二试得：

\[G(1)*\frac 1{m^L}=\sum^L_{i=1}a_i*F(1)*\frac{1}{m^{L-i}} \]

\[F'(1)=\sum^L_{i=1}a_im^i \]

用\(kmp\)即可\(O(L)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f==1?x:-x;
}
const int N=1e5+4,mod=1e4;
int n,m,a[N],fail[N],ans,T;
inline int ksm(int x,int r){
	int ret=1;
	for(int i=0;(1<<i)<=r;i++){
		if((r>>i)&1)ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod;
	}
	return ret;
}
inline void solve(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	for(int i=2,j=0;i<=n;i++){
		while(j&&a[j+1]!=a[i])j=fail[j];
		if(a[j+1]==a[i])j++;
		fail[i]=j;
	}
	ans=0;
	while(n){
		ans=(ans+ksm(m,n))%mod;
		n=fail[n];
	}
	for(int i=1000;i>1;i/=10)
		if(ans/i)break;
		else putchar('0');
	cout<<ans<<"\n";
}
int main(){
	m=read()%mod;/*!*/T=read();
	while(T--)solve();
	return (0-0);
}

更深入详细请阅读2018国家集训队论文《浅谈生成函数在掷骰子问题上的应用》杨懋龙