优先队列

概念和性质

1. 优先队列是允许至少下列两种操作的数据结构：插入（Insert）和删除最小者（DeleteMin）
2. 实现优先队列的数据结构叫二叉堆，他有两个性质，结构性（完全二叉树）和堆序性（(min)堆或(max)堆），堆的操作必须要到堆的所有性质都被满足才能终止
3. 堆是一颗被完全填满的二叉树，在树的底层上的元素从左到右填入的，这样的树叫完全二叉树。可以证明一颗高为\(h\)的完全二叉树有\(2^h\)到\(2^{h + 1} - 1\)个节点，他的高为\(⌊log N⌋\)
4. 可以用一个数组来表示一个完全二叉树，对于数组中任意位置\(i\)上的元素，其左儿子在位置\(2i\)处，右儿子在位置\(2i + 1\)处，它的父亲在位置\(⌊i / 2⌋\)处，

数组中的元素 | | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | |
-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-
数组的下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12

• 它的数据结构为

struct HeapStruct;
typedef struct HeapStruct *PriorityQueue;

struct HeapStruct
{
    int Capacity;
    int Size;
    ElementType *Elements;
}

基本操作

插入

void Insert(ElementType X, PriorityQueue H)
{
    int i;
    if (IsFull(H))
    {
        Error("Priority queue is Full");
        return;
    }
    for (i = ++H->Size; H->Element[i / 2] > X; i /= 2) H->Element[i] = H->Element[i / 2];
    H->Element[i] = X;
}

• 它的策略是先在尾部创建一个空穴，然后与它的父节点比较，如果比它的父节点小，则将父节点的值赋给空穴位置，然后与父节点的父节点比较，这种策略叫做上滤，如果插入的元素是新的最小元素，则它将一直上滤到根的位置，所以插入的最坏情形时间复杂度为\(\mathrm{O}(log N)\)

这里还有一个小问题，当\(i = 1\)时程序必须跳出循环，虽然说可以用一个if判断来跳出，但这里（书上）使用的方法是在位置0处放一个保证小于堆中的任何值的一个值，避免了每次循环都要执行一次测试，个人感觉也是一条思路吧

删除最小者

ElementType DeleteMin(PriorityQueue H)
{
	int i, Chile;
	ElementType MinElement, LastElement;
	
	if (IsEmpty(H))
	{
		Error("Priority queue is empty")
		return;
	}
	MinElement = H->Elements[1];
	LastElement = H->Elements[H->Size--];

	for (i = 1; i * 2 <= H->Size; i = Child)
	{
		Child = i * 2;
		if (Child != H->Size && H->Elements[Child + 1] < H->Elements[Child]) Child++;
		if (LastElement > H->Elements[Child]) H->Elements[i] = H->Elements[Child];
		else break;
	}
	H->Elements[i] = LastElement;
	return MinElement;
}

• 找到最小元素很简单，就是根的位置，将其删除后为了保持堆的堆序性自然要进行一系列的调整，此时在根的位置上就出现了一个空穴，并且位于堆的最后一个元素\(X\)也必须找到一个合适的位置，所以从根开始，对比它的儿子节点与\(X\)的大小，如果是儿子节点中的某一个更小，则将其放入根处的空穴，此时就又出现了一个空穴，按同样的方法继续向下推进，直到\(X\)可以正确的放入堆中，这个策略叫下滤,算法的最坏情形时间复杂度为\(\mathrm{O}(log N)\)

这里需要考虑的一个问题是一个父节点并不总是有两个儿子节点，所以会有这么一条判断if (Child != H->Size && H->Elements[Child + 1] < H->Elements[Child]) Child++;，它有效的保证了不会越界访问元素并且判断了两个子节点的大小（如果有的话）