乘法逆元

乘法逆元（除法取模）

乘法逆元：对于 ax≡1(mod p)当a与p互质时，方程的解x称为a关于p的逆元

费马小定理

定义

若p为素数，\(gcd(a,p)=1\),则\(a^{p-1}\)≡1(mod p);

另一种形式：对于任意整数a，\(a^p\)≡a (mod p);

证明

设一个质数为p ，我们取一个不为 p 倍数的数 a。

构造一个序列：\(A=\{1,2,3\dots,p-1\}\)，这个序列有着这样一个性质：

​ $\prod_{i=1}^{n}\space A_i\equiv\prod_{i=1}^{n} (A_i\times a) \pmod p $

证明：

​ $\because (A_i,p)=1,(A_i\times a,p)=1 $

又因为每一个\(A_i\)×a (mod p)都是独一无二的，且 \(A_i\times a \pmod p < p\)得证（每一个都\(A_i\)×a对应了一个\(A_i\)

设 $f=(p-1)! $则 \(f\equiv a\times A_1\times a\times A_2\times a \times A_3 \dots \times A_{p-1} \pmod p\)

​ \(\begin{aligned} a^{p-1}\times f &\equiv f \pmod p \\ a^{p-1} &\equiv 1 \pmod p \end{aligned}\)

证毕。

也可用归纳法证明：

显然 \(1^p\equiv 1\pmod p\)，假设 \(a^p\equiv a\pmod p\) 成立，那么通过二项式定理有

​ \((a+1)^p=a^p+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\cdots +\binom{p}{p-1}a+1\)

因为 \(\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}\)对于 \(1\leq k\leq p-1\) 成立，

在模 \(p\) 意义下 \(\binom{p}{1}\equiv \binom{p}{2}\equiv \cdots \equiv \binom{p}{p-1}\equiv 0\pmod p\)，

那么\((a+1)^p \equiv a^p +1\pmod p\)，将 \(a^p\equiv a\pmod p\)

带入得 \((a+1)^p\equiv a+1\pmod p\)得证。

推导

我们在费马小定理的基础上分离出来一项：\(a×a^{p-2}≡1(mod \quad p)\)

对于逆元的方程式，可以很容易得到，a关于p的逆元就是\(a^{p-1}\);

转化的过程：

费马小定理：\(y×y^{p-2}mod\quad p=1\)

两边同时乘以\(\frac{x}{y}\)：\(x×y^{p-2}mod\quad p=\frac{x}{y}\)

快速幂模板

int qpow(int a,int p,int mod)
{
    int ans=1;
    a%=mod;
    while(p)
    {
        if(p&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        p>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
int divi(int x,int y,int mod)
{
    y=quick(y,p-2,p);
    return x*y%mod;
}