SP2319 BIGSEQ - Sequence.md

Link

\[2^{100}\le 10^{31} \]

所以我们可以使用 __int128 而并不需要使用高精。

然后题目要我们把这堆数分 \(m\) 段，要求每段的“和”的最大值最小。

这显然二分答案。

然后考虑怎么 check：假设现在二分到的答案是 \(lim\) ，对于一个从 \(i\) 开始的段，我们要尽可能的找一个最长的 \(len\) ，使得 \(i,i+1,\cdots i+len\) 这堆数在二进制意义下 1 的个数的和小于等于 \(lim\)，这显然又可以二分 \(len\)，那么现在问题就变成了怎么快速求出 \(i,i+1,i+2,\cdots ,j-1,j\) 这堆数在二进制意义下 1 的个数的和。

设 \(f_i\) 为 \(0,1,2,\cdots,2^i\) 这堆数在二进制意义下 1 的个数的和，有：

\[f_i=2\times f_{i-1}+2^{i-1}-1 \]

这个比较显然对吧，原本 \(f_{i-1}\) 是 00XXXXX... 再加上一个 010000...，然后 \(f_i\) 是原本的 \(f_{i-1}\) 再加上 01XXXXX... 和 10XXXXX... ，那么这两部分其实就是 \(f_{i-1}\) 再加上在 01XXXXX... 里多出来的 \(2^{i-1}-1\) 个 1

算出了 \(f_i\) ，我们可以利用这个来算出任意一个 \(x\) 的 \(0,1,2,\cdots,x\) 这堆数在二进制意义下 1 的个数和。

int calc(int x)
{
	int sum=0,dlt=0;
	for(int i=k;i>=0;--i)
		if(pow2[i]&x)
			sum+=f[i]+dlt*pow2[i],++dlt;
	return sum;
}

也就是这个 calc 函数，这个其实需要找规律：

0 | 0 0 0 0
1 | 0 0 0 1
2 | 0 0 1 0
3 | 0 0 1 1
4 | 0 1 0 0
5 | 0 1 0 1
6 | 0 1 1 0
7 | 0 1 1 1
8 | 0 1 0 0

假设我们现在要求 calc(7) ，那么二进制分解下 7=4+2+1

那么首先先把 \(f_4\) 中的部分加上去：

1 | 0 0 0 1
2 | 0 0 1 0
3 | 0 0 1 1
4 | 0 1 0 0

然后下一个是 \(f_2\)，因为 \(f_4\) 已经计算过了，4+2=6 所以我们要去 [5,6] 中算

5 | 0 1 0 1
6 | 0 1 1 0

然后我们再把 \(f_2\) 对应的 [1,2] 看一看

1 | 0 0 0 1
2 | 0 0 1 0

发现在 \(2^2\) 的位置都多出了 1

然后再看一下剩下的 \(f_1\)，[7,7]，和 \(f_1\) 对应的区间 [1,1]

7 | 0 1 1 1

1 | 0 0 0 1

这部分不但多出了之前 \(f_2\) 里多出来的那个 \(2^2\) ，还有 \(2^1\) 也多出来了

然后你多试几个数，就能找到上面代码的规律

然后 \(0,1,\cdots,i-1\) 能求出来，\(0,1,\cdots , j\) 能求出来，减一下 \(i,i+1,\cdots , j-1,j\) 也能求出来

注意二分边界不要搞错

\(\texttt{Code:}\)

#include <bits/stdc++.h>
#define reg register
#define int __int128
#define ln puts("")
using namespace std;
template <class t> inline void read(t &s){
	s=0;reg int f=1;reg char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c))s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48),c=getchar();s*=f;return;}
template<class t,class ...A> inline void read(t &x,A &...a){read(x);read(a...);return;}
template <class t> inline void write(t x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;int buf[40],top=0;
	while(x)buf[++top]=x%10,x/=10;if(!top)buf[++top]=0;while(top)putchar(buf[top--]^'0');
	return;}
int a[120];
int pow2[120],f[120];
int k,m;
inline int calc(int X)
{
	reg int sum=0,dlt=0;
	for(int i=k;i>=0;--i)
		if(pow2[i]&X)
			sum+=f[i]+dlt*pow2[i],++dlt;
	return sum;
}
inline int solve(int l,int r)
{
	return calc(r)-calc(l-1);
}
inline bool check(int lim)
{
	reg int pos=0,cnt=0;
	while(pos<pow2[k]-1)
	{
		reg int l=pos,r=pow2[k]-1,mid,ans=pos;
		while(l<=r)
		{
			mid=(l+r)>>1;
			if(solve(pos+1,mid)<=lim)
				ans=mid,l=mid+1;
			else
				r=mid-1;
		}
		++cnt;
		pos=ans;
		if(cnt>m)
			return false;
	}
	return true;
}
signed main(void)
{
	read(k,m);
	pow2[0]=1;
	for(int i=1;i<=k;++i)
		pow2[i]=pow2[i-1]*2;
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=k;++i)
		f[i]=pow2[i-1]+f[i-1]*2-1;
	reg int l=1,r=f[k],mid,ans=f[k];
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))
			ans=mid,r=mid-1;
		else
			l=mid+1;
	}
	write(ans),ln;
	return 0;
}