算数运算符

数论基础

一、整除

1. 什么是整除？

如果一个数 a 能被另一个数 b 整除，就表示 b ÷ a 没有余数。
读作 “a 整除 b”。

2. 举例

• 6 ÷ 2 = 3，没有余数：
  $$
  6 \div 2 = 3
  $$

• 9 ÷ 3 = 3：
  $$
  9 \div 3 = 3
  $$

• 12 ÷ 5 = 2 …… 余 2：
  $$
  12 \div 5 = 2 \text{ 余 } 2
  $$

3. 整除的规律

• 如果一个数能整除第二个数，第二个数能整除第三个数，那么第一个数也能整除第三个数：
  $$
  \text{如果 } a \text{ 能整除 } b, \ b \text{ 能整除 } c, \text{ 那么 } a \text{ 能整除 } c
  $$

• 如果一个数能整除另一个数，它也能整除这个数的倍数：
  $$
  \text{如果 } a \text{ 能整除 } b, \text{ 那么 } a \text{ 能整除 } 2b, 3b, 4b \dots
  $$

• 如果两个数能互相整除，它们其实是相同的数或者符号相反：
  $$
  \text{如果 } a \text{ 能整除 } b \text{ 且 } b \text{ 能整除 } a, \text{ 那么 } a = b \text{ 或 } a = -b
  $$

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二、约数和倍数

1. 定义

• 约数：能整除一个数的数。
  例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12。
• 倍数：能被一个数整除的数。
  例如：3 的倍数有 3、6、9、12、15……

2. 特别的约数

• 每个数都有 1 和它自己 这两个约数，叫做 平凡约数。
• 其他的约数叫做 真约数。

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三、带余数的除法

1. 什么是余数？

当一个数不能整除时，会“剩下”一点，这就是 余数。

例子：13 ÷ 5 = 2 …… 3
公式表示为：
$$
b = q \cdot a + r, \quad 0 \le r < a
$$
其中：

• (b) ：被除数
• (a) ：除数
• (q) ：商
• (r) ：余数

2. 余数的特点

• 余数一定比除数小
• 相邻几个数除以同一个除数时，余数会循环出现

例如：
被 5 除的余数可能是 0、1、2、3、4

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四、C++ 中的除法和取模（%）

在 C++ 里：

• 除法 / 表示求商
• 取模 % 表示求余数

例子：

5 / 3 == 1   // 商是 1
5 % 3 == 2   // 余数是 2
-5 / 3 == -1 // 商向零取整
-5 % 3 == -2 // 余数符号和被除数相同

注意：
不能除以 0！

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小结

1. 整除：能整除就是没有余数

2. 约数：能整除一个数的数

3. 倍数：被整除的数

4. 带余除法：被除数 = 商 × 除数 + 余数

5. 在 C++ 里，取模 % 是求余的运算