位运算

竞赛/基础

位运算知识点总结

目录

1. 基本运算符
2. 运算符性质
3. 经典例题
4. [GESP 真题精选]
5. [ 位运算实用技巧大全 ]

---

基本运算符

1. 左移运算符 <<

int a = 5;       // 二进制 00000101
int b = a << 2;  // 二进制 00010100 → 十进制20

- **功能**：将二进制数所有位向左移动，低位补0
    
- **数学意义**：相当于乘以2ⁿ（n为移动位数）
    

2. 右移运算符 >>

int a = 20;      // 二进制 00010100
int b = a >> 2;  // 二进制 00000101 → 十进制5

• 功能：将二进制数所有位向右移动

• 注意：对有符号数，高位补符号位（算术右移）；对无符号数补0（逻辑右移）

3. 按位取反 ~

int a = 5;       // 00000101
int b = ~a;      // 11111010 → -6（补码表示）

4. 按位与 &

6 & 3 = 2        // 0110 & 0011 = 0010

5. 按位或 |

6 | 3 = 7        // 0110 | 0011 = 0111

---

运算符性质

交换律

a & b = b & a  
a | b = b | a

结合律

(a & b) & c = a & (b & c)  
(a | b) | c = a | (b | c)

分配律

a & (b | c) = (a & b) | (a & c)  
a | (b & c) = (a | b) & (a | c)

特殊性质

1. 幂等律：a & a = a，a | a = a

2. 吸收律：a | (a & b) = a，a & (a | b) = a

3. 德摩根定律：~(a | b) = ~a & ~b，~(a & b) = ~a | ~b

---

经典例题

例题1：表达式计算

(15 >> 2) & (~(1 << 3)) = ?

解答：

1. 15 >> 2 = 3（二进制 0011）

2. 1 << 3 = 8（二进制 1000）

3. ~(8) = -9（二进制补码 11110111）

4. 3 & (-9) = 3（00000011 & 11110111 = 00000011）

例题2：位运算应用

题目：用位运算判断奇偶

bool isOdd(int n) {
    return n & 1;  // 结果为1时是奇数
}

例题3：变量交换

a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;  // 不使用临时变量交换a,b的值

---

GESP真题精选

2023年三级样题

题目：执行 (12 & 9) | (5 << 2) 的结果是？
A) 20
B) 21
C) 24
D) 25

解析：

1. 12 & 9 = 8（1100 & 1001 = 1000）

2. 5 << 2 = 20（0101 → 10100）

3. 8 | 20 = 20（001000 | 10100 = 10100）
   答案：A

2023年四级真题

题目：表达式 ~(0xFF << 4) 的二进制结果中最低的8位是？
A) 00001111
B) 11110000
C) 00000000
D) 11111111

解析：

1. 0xFF = 11111111

2. << 4 → 11110000

3. ~ → 00001111
   答案：A

位运算实用技巧大全

高效计算技巧

1. 快速乘除2的幂

n << 1;  // n*2
n >> 1;  // n/2（向下取整）
n << 3;  // n*8 (2³)

2. 判断奇偶性

if(n & 1) {
    // 奇数（二进制末位为1）
} else {
    // 偶数
}

3. 交换变量值（无需临时变量）

a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;

4. 取绝对值（32位整数版）

int abs(int n) {
    return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
}

---

状态压缩应用

1. 集合表示（每个bit代表一个元素）

int set = 0;
set |= (1 << 3);  // 添加第3个元素
set &= ~(1 << 3); // 删除第3个元素
bool has = set & (1 << 3); // 检查第3个元素

2. 遍历子集

for(int subset = set; subset; subset = (subset-1) & set) {
    // 处理subset
}

3. 低效版（仅演示原理）

// 获取数字的二进制1的个数（汉明重量）
int count = 0;
while(n) {
    count += n & 1;
    n >>= 1;
}

---

算法优化技巧

1. 快速幂算法

int pow(int x, int n) {
    int res = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) res *= x;
        x *= x;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

2. 检测2的幂次

bool isPowerOfTwo(int n) {
    return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
}

3. 最低有效位（LSB）

int lsb = n & -n;  // 获取最右边的1

---

奇技淫巧

1. 字符大小写转换

char lower = ch | ' ';   // 转小写
char upper = ch & '_';   // 转大写
char toggle = ch ^ ' ';  // 大小写互换

2. 条件语句替代

// 代替 if(a>b) swap(a,b)
int diff = a ^ b;
int mask = (a - b) >> 31;
a ^= diff & mask;
b ^= diff & mask;

3. 模运算优化（仅适用于2ⁿ-1）

int mod = n & 0x0F;  // 等价于 n % 16

---

实战例题

例题1：找唯一出现数字

题目：数组中除一个数字出现1次外，其他都出现2次，找出该数字

int singleNumber(vector<int>& nums) {
    int res = 0;
    for(int num : nums) res ^= num;
    return res;
}

例题2：汉明距离

题目：计算两个整数二进制位不同的位数

int hammingDistance(int x, int y) {
    int diff = x ^ y, count = 0;
    while(diff) {
        diff &= diff - 1;
        count++;
    }
    return count;
}

例题3：位图排序

题目：对0-99的不重复数字排序（内存限制1KB）

unsigned char bitmap[16]; // 16*8=128bit
// 设置bit位
bitmap[n/8] |= (1 << (n%8));
// 检查bit位
if(bitmap[i/8] & (1 << (i%8)))

重要提示：位运算技巧虽然高效，但会降低代码可读性，实际开发中需权衡使用，建议添加详细注释说明原理。