《吴恩达深度学习》学习笔记006_优化算法 (Optimization algorithms)

http://www.ai-start.com/dl2017/html/lesson2-week2.html

优化算法 (Optimization algorithms)

Mini-batch 梯度下降（Mini-batch gradient descent）

可以把训练集分割为小一点的子集训练，这些子集被取名为mini-batch，假设每一个子集中只有1000个样本，那么把其中的$x^{(1)}$到$x$取出来，将其称为第一个子训练集，也叫做mini-batch，然后你再取出接下来的1000个样本，从$x^{{(1001)}$到$x}$，然后再取1000个样本，以此类推。

接下来我要说一个新的符号，把$x^{(1)}$到$x$称为$X^{{1}}$，$x$到$x^{{(2000)}$称为$X}{{2}}$，如果你的训练样本一共有500万个，每个mini-batch都有1000个样本，也就是说，你有5000个mini-batch，因为5000乘以1000就是5000万。

理解mini-batch梯度下降法（Understanding mini-batch gradient descent）

使用mini-batch梯度下降法，如果你作出成本函数在整个过程中的图，则并不是每次迭代都是下降的，特别是在每次迭代中，你要处理的是$X^{{t}}$和$Y{{ t}}$，如果要作出成本函数$J^{{ t}}$的图，而$J^{{{t}}$只和$X}{{ t}}$，$Y^{{{t}}$有关，也就是每次迭代下你都在训练不同的样本集或者说训练不同的mini-batch，如果你要作出成本函数$J$的图，你很可能会看到这样的结果，走向朝下，但有更多的噪声，所以如果你作出$J}{{t}}$的图，因为在训练mini-batch梯度下降法时，会经过多代，你可能会看到这样的曲线。没有每次迭代都下降是不要紧的，但走势应该向下，噪声产生的原因在于也许$X^{{1}}$和$Y{{1}}$是比较容易计算的mini-batch，因此成本会低一些。不过也许出于偶然，$X^{{2}}$和$Y{{2}}$是比较难运算的mini-batch，或许你需要一些残缺的样本，这样一来，成本会更高一些，所以才会出现这些摆动，因为你是在运行mini-batch梯度下降法作出成本函数图。

指数加权平均数（Exponentially weighted averages）

理解指数加权平均数（Understanding exponentially weighted averages）

回忆一下这个计算指数加权平均数的关键方程。

${{v}{t}}=\beta {{v}{t-1}}+(1-\beta ){{\theta }_{t}}$

$\beta=0.9$的时候，得到的结果是红线，如果它更接近于1，比如0.98，结果就是绿线，如果$\beta$小一点，如果是0.5，结果就是黄线。

我们进一步地分析，来理解如何计算出每日温度的平均值。

同样的公式，${{v}{t}}=\beta {{v}{t-1}}+(1-\beta ){{\theta }_{t}}$

使$\beta=0.9$，写下相应的几个公式，所以在执行的时候，$t$从0到1到2到3，$t$的值在不断增加，为了更好地分析，我写的时候使得$t$的值不断减小，然后继续往下写。

数加权平均的偏差修正（Bias correction in exponentially weighted averages）

你学过了如何计算指数加权平均数，有一个技术名词叫做偏差修正，可以让平均数运算更加准确，来看看它是怎么运行的。

${{v}{t}}=\beta {{v}{t-1}}+(1-\beta ){{\theta }_{t}}$

在上一个视频中，这个（红色）曲线对应$\beta$的值为0.9，这个（绿色）曲线对应的$\beta$=0.98，如果你执行写在这里的公式，在$\beta$等于0.98的时候，得到的并不是绿色曲线，而是紫色曲线，你可以注意到紫色曲线的起点较低，我们来看看怎么处理。

计算移动平均数的时候，初始化$v_{0} = 0$，$v_{1} = 0.98v_{0} +0.02\theta_{1}$，但是$v_{0} =0$，所以这部分没有了（$0.98v_{0}$），所以$v_{1} =0.02\theta_{1}$，所以如果一天温度是40华氏度，那么$v_{1} = 0.02\theta_{1} =0.02 \times 40 = 8$，因此得到的值会小很多，所以第一天温度的估测不准。

$v_{2} = 0.98v_{1} + 0.02\theta_{2}$，如果代入$v_{1}$，然后相乘，所以$v_{2}= 0.98 \times 0.02\theta_{1} + 0.02\theta_{2} = 0.0196\theta_{1} +0.02\theta_{2}$，假设$\theta_{1}$和$\theta_{2}$都是正数，计算后$v_{2}$要远小于$\theta_{1}$和$\theta_{2}$，所以$v_{2}$不能很好估测出这一年前两天的温度。

有个办法可以修改这一估测，让估测变得更好，更准确，特别是在估测初期，也就是不用$v_{t}$，而是用$\frac{v_{t}}{1- \beta^{t}}$，t就是现在的天数。举个具体例子，当$t=2$时，$1 - \beta^{t} = 1 - {0.98}^{2} = 0.0396$，因此对第二天温度的估测变成了$\frac{v_{2}}{0.0396} =\frac{0.0196\theta_{1} + 0.02\theta_{2}}{0.0396}$，也就是$\theta_{1}$和$\theta_{2}$的加权平均数，并去除了偏差。你会发现随着$t$增加，$\beta^{t}$接近于0，所以当$t$很大的时候，偏差修正几乎没有作用，因此当$t$较大的时候，紫线基本和绿线重合了。不过在开始学习阶段，你才开始预测热身练习，偏差修正可以帮助你更好预测温度，偏差修正可以帮助你使结果从紫线变成绿线。

在机器学习中，在计算指数加权平均数的大部分时候，大家不在乎执行偏差修正，因为大部分人宁愿熬过初始时期，拿到具有偏差的估测，然后继续计算下去。如果你关心初始时期的偏差，在刚开始计算指数加权移动平均数的时候，偏差修正能帮助你在早期获取更好的估测。

所以你学会了计算指数加权移动平均数，我们接着用它来构建更好的优化算法吧！

动量梯度下降法（Gradient descent with Momentum）

如果你要优化成本函数，函数形状如图，红点代表最小值的位置，假设你从这里（蓝色点）开始梯度下降法，如果进行梯度下降法的一次迭代，无论是batch或mini-batch下降法，也许会指向这里，现在在椭圆的另一边，计算下一步梯度下降，结果或许如此，然后再计算一步，再一步，计算下去，你会发现梯度下降法要很多计算步骤对吧？

例如，如果你要优化成本函数，函数形状如图，红点代表最小值的位置，假设你从这里（蓝色点）开始梯度下降法，如果进行梯度下降法的一次迭代，无论是batch或mini-batch下降法，也许会指向这里，现在在椭圆的另一边，计算下一步梯度下降，结果或许如此，然后再计算一步，再一步，计算下去，你会发现梯度下降法要很多计算步骤对吧？

慢慢摆动到最小值，这种上下波动减慢了梯度下降法的速度，你就无法使用更大的学习率，如果你要用较大的学习率（紫色箭头），结果可能会偏离函数的范围，为了避免摆动过大，你要用一个较小的学习率。

另一个看待问题的角度是，在纵轴上，你希望学习慢一点，因为你不想要这些摆动，但是在横轴上，你希望加快学习，你希望快速从左向右移，移向最小值，移向红点。所以使用动量梯度下降法，你需要做的是，在每次迭代中，确切来说在第$t$次迭代的过程中，你会计算微分$dW$，$db$，我会省略上标$[l]$，你用现有的mini-batch计算$dW$，$db$。如果你用batch梯度下降法，现在的mini-batch就是全部的batch，对于batch梯度下降法的效果是一样的。如果现有的mini-batch就是整个训练集，效果也不错，你要做的是计算$v_{{dW}}= \beta v_{{dW}} + \left( 1 - \beta \right)dW$，这跟我们之前的计算相似，也就是$v = \beta v + \left( 1 - \beta \right)\theta_{t}$，$dW$的移动平均数，接着同样地计算$v_{db}$，$v_{db} = \beta v_{{db}} + ( 1 - \beta){db}$，然后重新赋值权重，$W:= W -av_{{dW}}$，同样$b:= b - a v_{db}$，这样就可以减缓梯度下降的幅度。

RMSprop

root mean square prop算法

回忆一下我们之前的例子，如果你执行梯度下降，虽然横轴方向正在推进，但纵轴方向会有大幅度摆动，为了分析这个例子，假设纵轴代表参数$b$，横轴代表参数$W$，可能有$W_{1}$，$W_{2}$或者其它重要的参数，为了便于理解，被称为$b$和$W$。

所以，你想减缓$b$方向的学习，即纵轴方向，同时加快，至少不是减缓横轴方向的学习，RMSprop算法可以实现这一点。

在第$t$次迭代中，该算法会照常计算当下mini-batch的微分$dW$，$db$，所以我会保留这个指数加权平均数，我们用到新符号$S_{dW}$，而不是$v_{dW}$，因此$S_{dW}= \beta S_{dW} + (1 -\beta) {dW}^{2}$，澄清一下，这个平方的操作是针对这一整个符号的，这样做能够保留微分平方的加权平均数，同样$S_{db}= \beta S_{db} + (1 - \beta){db}^{2}$，再说一次，平方是针对整个符号的操作。

接着RMSprop会这样更新参数值，$W:= W -a\frac{dW}{\sqrt{S_{dW}}}$，$b:=b -\alpha\frac{db}{\sqrt{S_{db}}}$，我们来理解一下其原理。记得在横轴方向或者在例子中的$W$方向，我们希望学习速度快，而在垂直方向，也就是例子中的$b$方向，我们希望减缓纵轴上的摆动，所以有了$S_{dW}$和$S_{db}$，我们希望$S_{dW}$会相对较小，所以我们要除以一个较小的数，而希望$S_{db}$又较大，所以这里我们要除以较大的数字，这样就可以减缓纵轴上的变化。你看这些微分，垂直方向的要比水平方向的大得多，所以斜率在$b$方向特别大，所以这些微分中，$db$较大，$dW$较小，因为函数的倾斜程度，在纵轴上，也就是b方向上要大于在横轴上，也就是$W$方向上。$db$的平方较大，所以$S_{db}$也会较大，而相比之下，$dW$会小一些，亦或$dW$平方会小一些，因此$S_{dW}$会小一些，结果就是纵轴上的更新要被一个较大的数相除，就能消除摆动，而水平方向的更新则被较小的数相除。

RMSprop的影响就是你的更新最后会变成这样（绿色线），纵轴方向上摆动较小，而横轴方向继续推进。还有个影响就是，你可以用一个更大学习率$a$，然后加快学习，而无须在纵轴上垂直方向偏离。

要说明一点，我一直把纵轴和横轴方向分别称为$b$和$W$，只是为了方便展示而已。实际中，你会处于参数的高维度空间，所以需要消除摆动的垂直维度，你需要消除摆动，实际上是参数$W_1$，$W_2$等的合集，水平维度可能$W_3$，$W_4$等等，因此把$W$和$b$分开只是方便说明。实际中$dW$是一个高维度的参数向量，$db$也是一个高维度参数向量，但是你的直觉是，在你要消除摆动的维度中，最终你要计算一个更大的和值，这个平方和微分的加权平均值，所以你最后去掉了那些有摆动的方向。所以这就是RMSprop，全称是均方根，因为你将微分进行平方，然后最后使用平方根。

Adam 优化算法(Adam optimization algorithm)

Adam代表的是Adaptive Moment Estimation
Adam优化算法基本上就是将Momentum和RMSprop结合在一起。

学习率衰减(Learning rate decay)

假设你要使用mini-batch梯度下降法，mini-batch数量不大，大概64或者128个样本，在迭代过程中会有噪音（蓝色线），下降朝向这里的最小值，但是不会精确地收敛，所以你的算法最后在附近摆动，并不会真正收敛，因为你用的$a$是固定值，不同的mini-batch中有噪音。

但要慢慢减少学习率$a$的话，在初期的时候，$a$学习率还较大，你的学习还是相对较快，但随着$a$变小，你的步伐也会变慢变小，所以最后你的曲线（绿色线）会在最小值附近的一小块区域里摆动，而不是在训练过程中，大幅度在最小值附近摆动。

所以慢慢减少$a$的本质在于，在学习初期，你能承受较大的步伐，但当开始收敛的时候，小一些的学习率能让你步伐小一些。

指数衰减、离散下降、手动衰减

局部最优的问题(The problem of local optima)

这是曾经人们在想到局部最优时脑海里会出现的图，也许你想优化一些参数，我们把它们称之为$W_{1}$和$W_{2}$，平面的高度就是损失函数。在图中似乎各处都分布着局部最优。梯度下降法或者某个算法可能困在一个局部最优中，而不会抵达全局最优。如果你要作图计算一个数字，比如说这两个维度，就容易出现有多个不同局部最优的图，而这些低维的图曾经影响了我们的理解，但是这些理解并不正确。事实上，如果你要创建一个神经网络，通常梯度为零的点并不是这个图中的局部最优点，实际上成本函数的零梯度点，通常是鞍点。

也就是在这个点，这里是$W_{1}$和$W_{2}$，高度即成本函数$J$的值。

但是一个具有高维度空间的函数，如果梯度为0，那么在每个方向，它可能是凸函数，也可能是凹函数。如果你在2万维空间中，那么想要得到局部最优，所有的2万个方向都需要是这样，但发生的机率也许很小，也许是$2^{-20000}$，你更有可能遇到有些方向的曲线会这样向上弯曲，另一些方向曲线向下弯，而不是所有的都向上弯曲，因此在高维度空间，你更可能碰到鞍点。

所以我们从深度学习历史中学到的一课就是，我们对低维度空间的大部分直觉，比如你可以画出上面的图，并不能应用到高维度空间中。适用于其它算法，因为如果你有2万个参数，那么$J$函数有2万个维度向量，你更可能遇到鞍点，而不是局部最优点。

如果局部最优不是问题，那么问题是什么？结果是平稳段会减缓学习，平稳段是一块区域，其中导数长时间接近于0，如果你在此处，梯度会从曲面从从上向下下降，因为梯度等于或接近0，曲面很平坦，你得花上很长时间慢慢抵达平稳段的这个点，因为左边或右边的随机扰动，我换个笔墨颜色，大家看得清楚一些，然后你的算法能够走出平稳段（红色笔）。

我们可以沿着这段长坡走，直到这里，然后走出平稳段。

所以此次视频的要点是，首先，你不太可能困在极差的局部最优中，条件是你在训练较大的神经网络，存在大量参数，并且成本函数$J$被定义在较高的维度空间。

第二点，平稳段是一个问题，这样使得学习十分缓慢，这也是像Momentum或是RMSprop，Adam这样的算法，能够加速学习算法的地方。在这些情况下，更成熟的优化算法，如Adam算法，能够加快速度，让你尽早往下走出平稳段。

因为你的网络要解决优化问题，说实话，要面临如此之高的维度空间，我觉得没有人有那么好的直觉，知道这些空间长什么样，而且我们对它们的理解还在不断发展，不过我希望这一点能够让你更好地理解优化算法所面临的问题。