内积与向量的迹

在看 低秩近似之路（一）：伪逆 ，发现苏老师留下了一个小习题，证明$PQ$的内积等于$ P^T Q的迹 $，这里稍微练习一下：

\[ \begin{alignedat}{2} \text{给定 } P, Q &\in \mathbb{R}^{n \times m} \\ \text{那么 } P^T &\in \mathbb{R}^{m \times n} \\ (P^T Q)_{ij} &= \sum_{k=1}^{n} P_{ki} Q_{kj}, \quad P^T Q \in \mathbb{R}^{m \times m} \\ \operatorname{Tr}(P^T Q) &= \sum_{l=1}^{m} (P^T Q)_{ll} \\ &= \sum_{l=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} P_{kl} Q_{kl} \\ \text{把 } l,k \text{ 分别替换为 } j,i &\text{ 即可得到} \\ \operatorname{Tr}(P^T Q) &= \langle P, Q \rangle_F = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} P_{ij} Q_{ij} \end{alignedat} \]