AtCoder Beginner Contest 205 A~E 题解

A - kcal

题目大意

我们有一种每\(100\)毫升含有\(A\)千卡热量的饮料。\(B\)毫升的这种饮料含有多少千卡热量？

\(0\le A, B\le 1000\)

输入格式

\(A~B\)

输出格式

输出\(B\)毫升这种饮料包含的的千卡数。最大允许浮点数精度误差\(10^{-6}\)。

样例

\(A\)	\(B\)	输出
\(45\)	\(200\)	\(90\)
\(37\)	\(450\)	\(166.5\)
\(0\)	\(1000\)	\(0\)
\(50\)	\(0\)	\(0\)

分析

废话不多说，答案就是\(\frac{AB}{100}\)~

代码

#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
	int a, b;
	scanf("%d%d", &a, &b);
	a *= b;
	printf("%d.%d\n", a / 100, a % 100);
	return 0;
}

---

B - Permutation Check

题目大意

给定长度为\(N\)的序列\(A=(A_1,A_2,\dots,A_N)\)。
判断\(A\)是否为\((1,2,\dots,N)\)的一种排列。

\(1\le A_i\le N\le 10^3\)

输入格式

\(N\)
\(A_1~A_2~\dots~A_N\)

输出格式

如果\(A\)是\((1,2,\dots,N)\)的一种排列，输出Yes；否则，输出No。

样例

样例输入1

5
3 1 2 4 5

样例输出1

Yes

\((3,1,2,4,5)\)是\((1,2,3,4,5)\)的一种排列，所以我们输出Yes。

样例输入2

6
3 1 4 1 5 2

样例输出2

No

\((3,1,4,1,5,2)\)不是\((1,2,3,4,5,6)\)的一种排列，所以我们输出No。

样例输入3

3
1 2 3

样例输出3

Yes

样例输入4

1
1

样例输出4

Yes

分析

由于题目保证\(1\le A_i\le N\)，所以\((1,2,\dots,N)\)的一种排列\(A\)定义如下：

• \(A\)中\(1\)到\(N\)每个数字不重复出现。

因此，我们可以用数组记录每个数字是否出现，所以总时间复杂度为\(\mathcal O(n)\)。

代码

#include <cstdio>
#define maxn 1005
using namespace std;

bool used[maxn];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		int a;
		scanf("%d", &a);
		if(used[a])
		{
			puts("No");
			return 0;
		}
		used[a] = true;
	}
	puts("Yes");
	return 0;
}

---

C - POW

题目大意

给定三个整数\(A,B,C\)，判断\(A^C\)和\(B^C\)哪个更大。

\(-10^9\le A,B\le 10^9\)
\(1\le C\le 10^9\)

输入格式

\(A~B~C\)

输出格式

本题分如下三种情况输出：

• 如果\(A^C<B^C\)，输出<；
• 如果\(A^C>B^C\)，输出>；
• 如果\(A^C=B^C\)，输出=。

样例

\(A\)	\(B\)	\(C\)	输出
\(3\)	\(2\)	\(4\)	>
\(-7\)	\(7\)	\(2\)	=
\(-8\)	\(6\)	\(3\)	<

分析

首先，由于负负得正，\((-a)^2=a^2\)。
这样，我们可以根据奇偶性得出，如果\(n\)为偶数，\((-a)^n=a^n\)；但如果\(n\)为奇数，则\((-a)^n=-(a^n)\)。
因此，我们只需判断如果\(C\)为偶数，将\(A\)替换为\(|A|\)，再将\(B\)替换为\(|B|\)。
最后，\(A\)和\(B\)的大小关系就是\(A^C\)和\(B^C\)的大小关系。

代码

#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
	int a, b, c;
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
	if(!(c & 1))
	{
		if(a < 0) a = -a;
		if(b < 0) b = -b;
	}
	puts(a < b? "<": a > b? ">": "=");
	return 0;
}

---

D - Kth Excluded

题目大意

给定长度为\(N\)的正整数序列\(A=(A_1,A_2,\dots,A_N)\)和\(Q\)次查询。
在第\(i\)次查询中，给定正整数\(K_i\)，求第\(K_i\)小的不在\(A\)中的正整数。

\(1\le N,Q\le 10^5\)
\(1\le A_1<A_2<\dots<A_N\le10^{18}\)
\(1\le K_i\le 10^{18}\)

输入格式

\(N~Q\)
\(A_1~A_2~\dots~A_N\)
\(K_1\)
\(K_2\)
\(\hspace{5pt}\vdots\)
\(K_N\)

输出格式

输出\(Q\)行。第\(i\)行应该包含第\(K_i\)小的不在\(A\)中的正整数。

样例

样例输入1

4 3
3 5 6 7
2
5
3

样例输出1

2
9
4

不在\(A\)中的正整数有\(1,2,4,8,9,10,11,\dots\)，其中有：

• 第\(2\)小的\(2\)；
• 第\(5\)小的\(9\)；
• 第\(3\)小的\(4\)。

因此，我们应该依次输出2，9，4。

样例输入2

5 2
1 2 3 4 5
1
10

样例输出2

6
15

分析

本题我们可以先预处理出\(A\)中每个元素比它小的元素的数量，再二分查找即可。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;

using LL = long long;
LL a[maxn];

int main()
{
	int n, q;
	scanf("%d%d", &n, &q);
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		scanf("%lld", a + i);
		a[i] -= i;
	}
	while(q--)
	{
		LL k;
		scanf("%lld", &k);
		printf("%lld\n", k + (upper_bound(a, a + n, k) - a));
	}
	return 0;
}

---

E - White and Black Balls

题目大意

有多少种排列\(N\)个白球和\(M\)个黑球的方法使得下列条件成立？

• 对于每个\(i\) (\(1\le i\le N+M\))，设\(w_i\)和\(b_i\)分别是最左边\(i\)个球中白球和黑球的数量，\(w_i\le b_i+K\)成立。

答案对\((10^9+7)\)取模。

\(0\le N,M\le10^6\)
\(1\le N+M\)
\(0\le K\le N\)

输入格式

\(N~M~K\)

输出格式

输出答案，对\((10^9+7)\)取模。

样例

\(N\)	\(M\)	\(K\)	输出
\(2\)	\(3\)	\(1\)	\(9\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1000000\)	\(1000000\)	\(1000000\)	\(192151600\)

分析

首先，本题中合法排列数就是如下符合任意\(y\le x+K\)的\((0,0)\to(M,N)\)的最短路径的数量：

由此可见，如果\(N>M+K\)（即终点超出限制），答案一定为\(0\)。
我们还可以发现，如果没有\(y\le x+K\)这个限制，答案为\(\binom{N + M}{N}\)。
我们再考虑不合法的路径数，数量为\(\binom{N + M}{M + K + 1}\)。
因此，答案为\(\binom{N + M}{N}-\binom{N + M}{M + K + 1}\)。

代码

这里用AtCoder Library好像比较方便唉~

#include <iostream>
#include <atcoder/modint>
using namespace std;

using modint = atcoder::modint1000000007;

modint f(int n, int m)
{
	if(n < 0 || m < 0)
		return 0;
	modint ret = 1;
	for(int i=1; i<=m; i++)
		ret = ret * (n + i) / i;
	return ret;
}

int main()
{
	int n, m, k;
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	if(n > m + k) puts("0");
	else printf("%d\n", (f(n, m) - f(n - k - 1, m + k + 1)).val());
	return 0;
}