Panasonic Programming Contest 2020 C (Sqrt Inequality) 题解

题目大意

输入三个整数\(a\)，\(b\)，\(c\)，如果 \(\sqrt a + \sqrt b < \sqrt c\) 成立，输出Yes，否则输出No。

样例

输入 #1

2 3 9

输出 #1

No

\(\sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 9\) 不成立。

输入 #2

2 3 10

输出 #2

Yes

\(\sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 10\) 成立。

分析

错误思路

首先，由于系统sqrt函数的浮点数精度误差，下面这个代码明显会WA:

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(int argc, char** argv)
{
	int a, b, c;
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
	double d = sqrt(double(a)) + sqrt(double(b));
	puts(d * d < c? "Yes": "No");
	return 0;
}

所以，这个题一定需要特殊思路！！！

正确思路

下面是正确方法的推导过程：
\(\sqrt a + \sqrt b < \sqrt c\)
\((\sqrt a + \sqrt b)^2 < (\sqrt c)^2\)
\(a + b + 2\sqrt ab < c\)
\(2\sqrt ab < c - a - b\)
\((2\sqrt ab)^2 < (c - a - b)^2\)
\(4ab < (c - a - b)^2\)
注意：还有一种情况，就是\(c - a - b < 0\)或\(c < a + b\)，答案应该是No。这种情况不考虑到会WA，因为\((c - a - b)^2\)会“直接忽略负数”！

代码

#include <cstdio>
using namespace std;

int main(int argc, char** argv)
{
	long long a, b, c;
	scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &c);
	long long d = c - a - b;
	if(d < 0) puts("No"); // 特殊情况c - a - b < 0直接输出No
	else puts((d * d > 4LL * a * b)? "Yes": "No");
	return 0;
}