【数论】欧拉函数

内容

• 前置：互质。

\(\forall a, b \in \mathbb N\)，若 \(\gcd\{a, b\} = 1\)，则称 \(a\) 与 \(b\) 互质。

对于 \(3\) 个数或更多的情况，若 \(\gcd\{a, b, c\} = 1\)，则称 \(a, b, c\) 互质；若 \(\gcd\{a, b\} = \gcd\{a, c\} = \gcd\{b, c\} = 1\)，则称 \(a, b, c\) 两两互质。

• 欧拉函数

\(1 \sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数为欧拉函数，记为 \(\varphi(N)\)。

根据算数唯一分解定理，\(N = p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n}\)，则：

\[\varphi(N) = N\cdot\frac{p_1-1}{p_1}\cdot\frac{p_2-1}{p_2}\cdot\frac{p_3-1}{p_3}\cdots\frac{p_n-1}{p_n} = N\cdot \prod_{p|N}(1-\frac 1 p) \]

（\(p\) 为质数。）

证明

若 \(p\) 为 \(N\) 的质因子，则 \(1\sim N\) 中 \(p\) 的倍数有 \(p\)、\(2p\)、\(3p \dots \lfloor N\div p \rfloor \times p\) 共 \(\lfloor N\div q\rfloor\) 个。同理，若 \(q \mid N\)，则 \(1\sim N\) 中有 \(\lfloor N\div q\rfloor\) 个 \(q\) 的倍数。

若把这 \(N\div p + N\div q\) 个数去掉，那么所有 \(p \times q\) 的倍数被去除了两次，需加回一次。那么 \(1\sim N\) 中 $ 不与 \(N\) 含有共同质因子 \(p\) 或 \(q\) 的数的个数为：

\[N - \frac N p - \frac N q + \frac N {p\cdot q} = N\times(1-\frac 1 p - \frac 1 q - \frac 1 {pq}) = N(1-\frac 1 p)(1-\frac 1 q) \]

使用一个韦恩图表示：

            ______________ ______________
           /              X              \
          /              / \              \
         /              /   \              \
        |     ∑p|P     | P=Q |     ∑q|Q     |              
        | P<=N & !(q|P)|     |Q<=N & !(p|Q) |
         \              \   /              /
          \              \ /              /
           \______________X______________/

应用

例题