计数相关做题记录

CF1097G Vladislav and a Great Legend

因为 \(n^m=\sum \limits _i \binom{n}{i} S(m,i) i!\)，则 \(f(x)^k=\sum \limits _i \binom{f(x)}{i} S(k,i) i!\)。

现在考虑 \(\sum \limits _X\binom{f(X)}{i}\)。也就是从点集构成的边集中选择 \(i\) 条边的方案数。定义 \(f_{u,j}\) 表示从以 \(u\) 为根的子树中选择的点集所构成的边集选择 \(j\) 条边的方案数。我们 dp 时考虑合并 \(u,v\) 两个点集，\(u\) 是 \(v\) 的父亲：

• 如果点集全在 \(u\) 中，那么 \(f_{u',i}\leftarrow f_{u,i}\)。
• 如果点集全在 \(v\) 中，那么有 \(f_{u',i}\leftarrow f_{v,i},f_{u',i}\leftarrow f_{v,i-1}\)。最后一个转移是选择 \((u,v)\) 这条边，这一步不应该合法的。为什么会这样呢？其实是为了第三步的合并做准备。
• 如果点集在 \(u,v\) 中均有，那么 \((u,v)\) 这条边选不选都合法。则有 \(f_{u',i+j+0/1}\leftarrow f_{u,i}f_{v,j}\)。

如何统计答案？答案其实不是 \(f_{1,i}\)，因为我们在第二种情况做了特殊处理，所以我们只能在第三种情况时额外开一个数组统计生成树以 \(u\) 为根时的方案数。

P10005 [集训队互测 2023] 基础寄术练习题

首先考虑 \(k=1\) 的特殊情况，\(f(a)=\dfrac{1}{\prod\limits _{i=1}^n s_i}\)。对于一个集合 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 我们有：\(\sum f(a')=\prod \limits _{i=1}^n \frac{1}{a_i}\)，其中 \(a'\) 表示 \(a\) 的所有排列。证明：

考虑这样一个组合意义，有 \(n\) 种小球，每种小球有 \(a_i\) 个。对于任意 \(1\leq i\leq n-1\)，第 \(i\) 种小球的最后一次出现位置在第 \(i+1\) 种小球最后一次出现位置之前的概率为 \(\prod \limits _{i=1}^n \dfrac{a_i}{s_i}\)。对于 \(a\) 的所有排列 \(a'\)，有 \(\sum \prod \limits _{i=1}^n \dfrac{a'_i}{s'_i}=1\)，这是比较显然的。那么有 \(\sum f(a')=\prod \limits _{i=1}^n \frac{1}{a_i}\)。