NOIP 复习题之二分图

CF741C

有 \(2n\) 个人围成一圈坐在桌子边上，每个人占据一个位子，对应这 \(2n\) 个人是 \(n\) 对情侣，要求情侣不能吃同一种食物，并且桌子上相邻的三个人的食物必须有两个人是不同的，只有两种食物，问一种可行分配方式。

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思路： 我们在两个点之间连边，表示他们吃的不一样。然后对于点对 \((x,y)\)，连边 \(x\) 和 \(y\)。对于相邻 \(3\) 个人吃的食物不同的限制，可以直接将其强化，在 \(2i-1\) 和 \(2i\) 之间连边，可以直接保证相邻 \(3\) 个人吃的食物不同.

如何保证这样的正确性？我们需理解连出来的图一定是二分图。二分图有个性质，如果这个图不是二分图的话，那么就一定有奇环，如果没有，就一定是二分图。任何一个环都是由若干条情侣边和若干条 \((2i-1,2i)\) 边互相交错而成，所以不存在奇环。

P10936

一个入侵者 \(a\) 被第 \(b\) 号塔的第 \(c\) 次导弹袭击中，可以连边 \(a\to (b,c)\)。

因为有时间的限制，显然不能连接 \(a\to (b,+∞)\)。因为时间具有单调性，时间越多，入侵者就越能被消灭。则二分时间 \(mid\)，若第 \(b\) 号塔的第 \(c\) 次导弹的发射时间小于等于 \(mid\)，则连边。

最后看每一个入侵者是否被一个点对 \((b,c)\) 所连接，即可以采用二分图匹配。

CF1354E

先对图进行二分图染色。

• 染白色的点填入 \(2\)，染黑色的点填入 \(1/3\)。
• 染黑色的点填入 \(2\)，染白色的点填入 \(1/3\)

对于一个联通块来说，\(2\) 的数量等于黑点数量或者白点数量，二选一。因为总的 \(2\) 的数量限制为 \(n_2\)，定义 \(f_{i,j}\) 代表前 \(i\) 个联通块，有 \(j\) 个 2 是否可行。背包即可。

考虑输出方案。先把每个联通块的 \(2\) 填了，这可以根据 dp 值确定。最后剩下的 \(1/3\) 直接随便加入即可。

CF1012B

考虑建立一个二分图，左边为行的编号，右边为列的编号。若 \((x,y)\) 存在标记，则连接 \(x\) 和 \(y\)。

考虑这个标记如何变化：\((r_1,c_1)+(r_1,c_2)+(r_2,c_1)\to (r_2,c_2)\)，容易发现在此过程中二分图联通块数量不变。且一个联通的二分图，将在有限次操作下，变成一个完全二分图。现在只需要考虑加多少条边使整体二分图变的联通。答案就是联通块个数减一。

CF553C

考虑题目限制：其中任意三个点，连成的边合法的组合有 \(111\)，\(100\)。这就意味着确定三个点中的任意两条边，就可以确定另外一条边。例如 \((1,1)\to 1,(1,0)\to 0,(1,0)\to 0,(0,0)\to 1\)。即异或值取反。

如果我们把给出的所有边连上，对于任意两个极大连通块，如果确定这两个联通块之间的任意一条边 \(0/1\)，则可确定这两个联通块的所有边。这样连接会不会出现矛盾？结论是，如果两个联通块之间的边无矛盾，则不会出现矛盾。

假设最后有 \(m\) 个联通块，如何确定方案数？可以这样连：如果让 \(1\) 联通块和 \(2,3,\dots,m\) 确定关系，则 \(2,3,\dots,m\) 之间的关系可以被确定。由于两个联通块时间有 \(2\) 种方案，则答案为 \(2^{m-1}\)。

先用带权并查集先判断联通块之间的边有无矛盾！

CF1375G

树是一个二分图，我们把初始的图进行二分图染色，使得一个黑色节点周围所有与它相邻的节点都是白色节点，反之亦然。因最终是一个菊花图，则一定有一种颜色只出现一次。也就是问操作多少次会让某一种颜色只出现 \(1\) 次。

观察操作：选择相邻节点 \(a,b,c\)，不妨把 \(a,c\) 设置为白色，\(b\) 设置为黑色。

• 所有与 \(a\) 相邻的节点与 \(c\) 连边，可以发现这些点颜色不变。
• 将 \(a\) 连 \(c\)，则 \(a\) 的颜色变为黑色。

也就是说每一次操作只有一个节点的颜色发生变化。那么下限就是 \(min(cnt_0,cnt_1)-1\)。可证明可以取到最小值。

P2825

如果没有硬石头，那么在 \((i,j)\) 放个炸弹，可以将第 \(j\) 列和第 \(i\) 行全部炸完。也就可以对于 \((i,j)\)，连边 \(i\) 和 \(j\)，跑最大匹配即可。

现在有了硬石头，那么这一列和这一行就不能全部炸完。但是发现，能炸的区域一定是行的一小段，列的一小段。所以我们以 # 为分界线，重新把列和行分裂出来即可。