# 背包专题
背包专题
详细的解释推导参考 背包九讲——全篇详细理解与代码实现，代码可以参考本文的代码，更加简洁易懂。
01背包
N个物品，容量为V的背包，每个物品只能使用一次。
最优能达到O(NV)
dp[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中能获得的最大值。
for(int i=1;i<=N;i++)cin>>st[i].v>>st[i].w;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=V;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j-st[i].v>=0) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-st[i].v]+st[i].w);
}
cout<<dp[N][V]<<endl;
dp数组优化成一维：
背包容量逆序递推，因为要使用到上一层的数据
for(int i=1;i<=N;i++)cin>>st[i].v>>st[i].w;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=V;j>=st[i].v;j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-st[i].v]+st[i].w);
cout<<dp[V]<<endl;
完全背包
N个物品，容量为V的背包，每个物品有无限个可以使用
最优O(NV)
for(int i=1;i<=N;i++)cin>>st[i].v>>st[i].w;
for(int i=1;i<=N;++i)
for(int j=1;j<=V;j++)
for(int k=0;k*st[i].v<=j;k++)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*st[i].v]+k*st[i].w);
cout<<dp[N][V]<<endl;
将枚举每个物品取用的数量k转移到当前物品使用数量为k-1的状态：
背包容量正序递推，使用到的数据是当前物品的前一种数量下的值
for(int i=1;i<=N;i++)cin>>st[i].v>>st[i].w;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=0;j<=V;j++) {
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j-st[i].v>=0)dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - st[i].v] + st[i].w);
}
cout<<dp[N][V];
类似01背包，将dp数组优化成一维：
for(int i=1;i<=N;i++)cin>>st[i].v>>st[i].w;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=st[i].v;j<=V;j++) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - st[i].v] + st[i].w);
}
cout<<dp[V];
多重背包
N个物品，容量为V的背包，每个物品有s[i]个
将每种物品的s[i]个拆分打包成不同的组，以二进制的形式分组，最后如果无法拆成2的整数次幂，则单独成一组。
例如：\(22=1+2+4+8+7=(1111)_2+(7)_{10}\)
这些组的不同组合可以拼凑出0-s[i]，并且每个组只能选一次。这样就转化成了01背包，拆分之后最后物品种类数为\(N*logs\)
时间复杂度：\(O(NVlogS)\)
cin>>N>>V;
idx=1; //idx记录下标，作用和链式前向星存储中的idx一样
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>vv>>ww>>sum;
k=1;
while(k<=sum){
++idx;
v[idx]=k*vv;
w[idx]=k*ww;
sum-=k;k<<=1;
}
if(sum){//处理最后无法拆成2的整数次幂
++idx;
v[idx]=sum*vv;
w[idx]=sum*ww;
}
}
N=idx;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=V;j>=v[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
cout<<dp[V]<<endl;
分组背包
N类物品，容量为V的背包，每类物品有若干种物品，每类物品中只能选一个。
例如：水果类有1个苹果，1个香蕉，1个西瓜，但是只能买一种水果。
对于每类物品，枚举选择哪一种物品。
cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>s[i];
for(int j=1;j<=s[i];j++)cin>>v[i][j]>>w[i][j];
}
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=V;j>=0;j--)
for(int k=1;k<=s[i];k++)
if(v[i][k]<=j)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i][k]]+w[i][k]);
cout<<dp[V];
混合背包
如果是01背包完全完全背包，注意到01背包的代码和完全背包只有逆序遍历和正序遍历的区别。所以，对于这种混合，只需要在遍历时判断当前物品是无限个还是只有一个，从而选择当前是正序遍历还是逆序遍历。
如果是再混合多重背包的话，将多重背包转化成01背包之后，就变成了01背包和完全背包的混合，就变成了上面一种解法。
如果再混合分组背包，做法同理。遍历到当前物品的时候，如果是01背包，使用01背包代码解决当前物品，如果是完全背包，则使用完全背包代码，如果是分组背包，则使用分组背包代码。
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> c >> w >> p;
if (p == 0) {} //完全背包
else if (p == -1){} //01背包
else {} // 分组背包
}
