# 差分约束系统
差分约束系统
水题（bzoj 1731）
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裸差分约束，n头牛【1，n】，(ml条这样的信息)对于两头有好感的牛距离不超过w,(md条这样的信息)对于两头有反感的牛距离至少w,且多头牛可以共享一个点，求最后一头牛和第一头牛距离最大是多少
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按要求建图，使用bellman或者spfa
/*
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3
Sample Output
27
四只牛分别在0，7，10，27.
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{
int from,cost,to;
}e[100000];
int k=0;
void build(int x,int y,int w){
//e[k].from=x,e[k].to=y,e[k].cost=w;
e[k]=edge{x,w,y};
k++;
}
int d[1005];
int n;
const int inf=0x7f7f7f7f;
bool bellman(int s){
memset(d,0x7f,sizeof(d));
d[s]=0;
bool update=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
update=0;
for(int j=0;j<k;j++){
edge& es=e[j];
if(es.from!=inf&&d[es.from]+es.cost<d[es.to]){
d[es.to]=d[es.from]+es.cost;
update=1;
if(i==n)return 0;
}
}
if(!update)return 1;
}
return 1;
}
int main(){
int ml,md;
scanf("%d %d %d",&n,&ml,&md);
int x,y,w;
while(ml--){
scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);//y-x<=w;建有向边x->y,
build(x,y,w);
}
while(md--){
scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);//y-x>=w;x-y<=(-w)
build(y,x,-w);
}
for(int i=2;i<n;i++)build(i,i-1,0);//多头牛共享一个点，建0边
if(!bellman(1)){
printf("%d",-1);
}
else{
if(d[n]==inf)printf("%d",-2);
else {
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%d ",d[i]);//打印可行解，题目答案即为d[n];
} //这里没有题目要求输出
}
}
return 0;
}
最短路算法
- 差分约束系统一般使用bellman和spfa求最短路，也可以用来求最长路径，只需将松弛操作从\(<\)改成\(>\)；
差分约束系统
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条件：每个不等式只含两个变量，且系数为1和-1.
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不等式建边：a-b<=c（一定要小于等于），a<=b+c,to<=from+cost,建立b->a的有向边
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最大值最小值的理解：差分约束系统是将不等式合并成$$不等式约束下求首位距离最大值\a-b<=c1\a-b<=c2\a-b<=c3\......\max(a-b)=min(c1,c2,...)\相当于最短路径$$---------------------------------------------------------------------------$$不等式约束下求首位距离最小值\a-b>=c1\a-b>=c2\a-b>=c3\......\min(a-b)=max(c1,c2,...)\相当于最长路径$$,
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不等式标准化：(此处求两个点距离的最大值，如果求最小值则转化为\(>=\)求最长路径)
a-b>=c -> b-a<=-c;
a-b<c -> a-b<=c-1;
a-b>c -> b-a<-c -> b-a<=-c-1;
a-b=c -> a-b<=c&&a-b>=c
- 可行解：最大值（最小值）：有负（正）环时距离可以无限小（大），不可达时（两个点之间没有约束关系）距离无限大（小），有解的情况下d[i]为每个点对应的位置（一组可行解）
差分约束详解及金典模型
- 线性约束
- 区间约束的（d[i]表示（0，i）区间）
- 位置条件约束（二分+差分约束）
参考博客感谢博主
