关于斐波那契数模意义下的循环节问题

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求\(f(f(n))\)，\(f\)表示斐波那契数
\(n\leq10^{100}\)
对于\(1e9+7\)取mod
斐波那契数在mod意义下是有循环节的，
然后zhx把他出在了noip模拟题里，
丧心病狂，

丢一个paper
Charles W. Campbell II. The Period of the Fibonacci Sequence Modulo j. 2007.

找循环节的算法大致是
把模数质n因数分解,分解为$ p_1 ^ {k_1} * p_2^ {k_2} *...p_n^{k_n} \( 对于%n意义下的循环节就是\) lcm (mod (质因数 ^ k) 意义下的循环节 ) $
那么后面那个怎么求呢
有定理

\(fib数 mod p^m\) 的最小循环节长度为 \(G(p) * p^{m - 1}\)其中，\(G(p)\)表示\(%p\)的最小循环节长度

现在就是求\(G(p)\)
对于\(G(p)\)我们有如下定理

如果\(5\)是模\(p\)的二次剩余那么循环节的长度是\(p-1\)的因子否则长度为\(2(p + 1)\)
二次剩余及计算方法
对于小于等于5的素数特殊判断，loop(2)=3,loop(3)=8,loop(5)=20。

可以求出所有的因子，然后用矩阵快速幂来一个一个判断，这样时间复杂度不会很大。

本题模数只有一个，手玩就好了

代码

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<algorithm> 

using namespace std; 
#define int long long 
inline int read() { 
	int x = 0,f = 1; 
	char c = getchar(); 
	while(c  < '0' || c > '9') c = getchar(); 
	while(c  <= '9' && c >= '0') x = x * 10 + c-'0',c = getchar(); 
	return x *f ; 
} 
const int m1 = 1000000007; 
const int m2 = m1 * 2 + 2; 
const int m3 = m2 * 3; 
int n ; 
struct Matrix { 
	int a[3][3]; 
	Matrix () { memset(a,0,sizeof a); }   	
	Matrix  operator * (const Matrix & p) const { 
		Matrix ret; 
		for(int i = 0;i <= 1;++ i) 
			for(int j = 0;j <= 1;++ j) 
				for(int k = 0;k <= 1;++ k) 
					ret.a[i][j] = (ret.a[i][j] + a[i][k] * p.a[k][j]) % m1; 
		return ret; 
	} 
	Matrix  operator + (const Matrix & p) const {
		Matrix ret; 
		for(int i = 0;i <= 1;++ i) 
			for(int j = 0;j <= 1;++ j) 
				for(int k = 0;k <= 1;++ k) 
					ret.a[i][j] =(ret.a[i][j] +  a[i][k] * p.a[k][j]) % m2; 
	 	return ret; 
	} 
}; 
int get1(int x) { 
	Matrix p,q; 
	p.a[0][0] = 1; p.a[0][1] = 1; p.a[1][0] = 1; 
	q.a[0][1] = 1;//,q.a[1][1] = 1; 
	for(;x;x >>= 1,p = p + p) 
		if(x & 1) q = q + p; 
	return q.a[0][0]; 
} 
int get2(int x) { 
	Matrix p,q; 
	p.a[0][0] = 1; p.a[0][1] = 1; p.a[1][0] = 1; 
	q.a[0][1] = 1;  
	for(;x;x >>= 1,p = p * p) 
		if(x & 1) q = q * p; 
	return q.a[0][0]; 
} 
char s[100007]; 
struct bign { 
	int z[100007],l;
	void init() { 
 		memset(z,0,sizeof(z)); 
		scanf("%s",s + 1); 
		l = strlen(s + 1); 
		for(int i = 1;i <= l;i ++) 
			z[i] = s[l - i + 1] - '0'; 
	} 
	int operator % (const long long & a) const { 
		int b = 0; 
		for (int i = l;i >= 1;i --) 
			b = (b * 10 + z[i]) % a; 
		return b; 
	} 
}z;  
main() { 
	int t = read(); 
	bign num; 
	while(t --)  { 
		num.init(); 
		n = num % m3; 
		n = get1(n); 
		printf("%lld\n",get2(n));  
	} 	
	return 0; 
} 
/* 

*/