拉格朗日插值

拉格朗日插值

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定义

对于一个多项式函数，以知给定的k+1个点\((x_{0},y_{0}),....,(x_{k},y_{k})\)
设任意的两个\(x_j\)都不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的多项式为：
\(L(x)=\sum_{j=0}^{k}y_{i}\ell_{i}(x)\)
其中每个\ell {j}(x)为拉格朗日基本多项式，其表达式为：
\(\ell _{j}(x):=\prod _{{i=0,\,i\neq j}}^{{k}}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}\)
拉格朗日基本多项式\ell {j}(x)的特点是在x上取值为1，在其它的点x,,i\neq j上取值为0。

例子

假设有某个二次多项式函数f，已知它在三个点上的取值为：

\(f(4)=10\)
\(f(5)=5.25\)
\(f(6)=1\)
要求\(f(18)\)的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：

\(\ell _{0}(x)={\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}\)
\(\ell _{1}(x)={\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}\)
\(\ell _{2}(x)={\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}\)
然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p的表达式（p为函数f的插值函数）：

\(p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)\)
\(.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}\)
\(.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)\)
此时代入数值\(18\)就可以求出所需之值：\(\ f(18)=p(18)=-11\)

证明

存在性：

对于给定的k+1个点：\((x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})\)
拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点\(x_{j}\)取值为1，而在其他点取值都是0的多项式\(\ell _{j}(x)\)
这样，多项式\(y_{j}\ell _{j}(x)\)在点\(x_{j}\)取值为\(y_{j}\)，而在其他点取值都是0
而多项式\(L(x):=\sum _{{j=0}}^{{k}}y_{j}\ell _{j}(x)\)就可以满足
\(L(x_{j})=\sum _{{i=0}}^{{k}}y_{i}\ell _{i}(x_{j})=0+0+\cdots +y_{j}+\cdots +0=y_{j}\)
在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：
\((x-x_{0})\cdots (x-x_{{j-1}})(x-x_{{j+1}})\cdots (x-x_{{k}})\)
在点\(x_{j}\)取值为：
\((x_{j}-x_{0})\cdots (x_{j}-x_{{j-1}})(x_{j}-x_{{j+1}})\cdots (x_{j}-x_{{k}})\)。
因为假定\(x_{i}\)两两互不相同，因此上面的取值不等于0。
将多项式除以这个取值，得到一个满足“在\(x_{j}\)取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：
\(\ell _{j}(x):=\prod _{{i=0,\,i\neq j}}^{{k}}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{{j-1}})}{(x_{j}-x_{{j-1}})}}{\frac {(x-x_{{j+1}})}{(x_{j}-x_{{j+1}})}}\cdots {\frac {(x-x_{{k}})}{(x_{j}-x_{{k}})}}\)
完

唯一性

次数不超过\(k\)的拉格朗日多项式至多只有一个:
对任意两个次数不超过k的拉格朗日多项式：\(P_{1}和P_{2}\)，它们的差
\(P_{1}-P_{2}\)在所有\(k+1\)个点上取值都是\(0\)，因此必然是多项式\((x-x_{0})(x-x_{{1}})\cdots (x-x_{{k}})\)的倍数。
因此，如果这个差\(P_{1}-P_{2}\)不等于0，次数就一定不小于\(k+1\)。
但是\(P_{1}-P_{2}\)是两个次数不超过\(k\)的多项式之差，它的次数也不超过\(k\)。
所以\(P_{1}-P_{2}=0\)，也就是说\(P_{1}=P_{2}\)。
得证

还剩代码啦

#include<iostream>  
#include<string>  
#include<vector>  
using namespace std;
double Lagrange(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y,double x){  
  double ret=0;  
    for(int i=1;i<=n;i++) {  
        double tmp=Y[i];  
        for(int j=1;j<=n;j++){  
            if(i!=j) {  
                tmp*=(x-X[j]);  
                tmp/=(X[i]-X[j]);  
            }  
        }  
        ret+=tmp;  
    }  
    return ret;  
};  
int main(){  
    int n;
    std::cin>>n;
    vector<double>X(n,1);  
    vector<double>Y(n,1);
    for(int i=1;i<=n;i++){  
        cin>>X[i]>>Y[i];  
    }
    double x;  
    std::cin>>x;  
    std::cout<<Lagrange(n,X,Y,x)<<endl;  
    return 0;  
} 

注，以上部分转自http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962