QOJ 9246 做题记录

QOJ 9246 做题记录

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一句话题意：对于一个有向图，如果某个点 u 可以在 2 的距离内到达所有其他的点，那么该点 u 被称作支配点。给定一个有向完全图（竞赛图），要求找出 3 个支配点。

结论：设 \(x\) 为一个支配点，\(y\) 为可能是支配点的点中出度最大的点。定义 \(S_i\) 为 \(i\) 的出边点集，则 \(y\) 是支配点当且仅当 \(S_y \subseteq S_x\) 不成立。

证明：

• 命题一：若 \(y\) 是支配点，则 \(S_y \subseteq S_x\) 不成立

若 \(y\) 是支配点，\(S_y \subseteq S_x\) 成立。显然 \(y\) 一步可到达 \(S_x\) 内的点，但 \(y\) 两步并不能到达 \(x\)，矛盾！

• 命题二：若 \(S_y \subseteq S_x\) 不成立，则 \(y\) 是支配点。

【保留待证】