【题解】P3958 [NOIP2017 提高组] 奶酪

本题解仿照联合国大会决议写成。

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联合国大会第一百一十四届会议

议程项目一：一系列信息题目的解法

2025 年 1 月 4 日大会决议

[未经发交主要委员会而通过]

114/514. 题目 P3958 的解法

大会，

注意到题目给出了两个奶酪相连通的条件，即两球相切或相交。

又注意到题目询问是否能从下表面洞走到上表面洞，即询问某两个洞是否连通。

回顾并查集的作用，即连接一系列点，然后判断某两个点是否连通。恰好是本题所要解决的问题。

考虑连通即两球相切或相交的条件，显然当两球的球心距离小于两球半径之和时，两圆相切或相交。

又考虑一个洞位于上表面的条件，是最上端顶点 $z$ 坐标即 $z_i+r$ 大于等于 $h$。

还考虑一个洞位于下表面的条件，是最下端顶点 $z$ 坐标即 $z_i-r$ 小于等于 $0$。

建议两两枚举所有的洞，将所有洞在并查集中连通。然后遍历所有洞，筛选出位于上表面和下表面的点。接着遍历每个上表面的点和下表面的点并判断是否连通。最后输出即可。

还建议使用 long long 类型，因为在计算距离的时候两个 $10^9$ 相乘会超过 int 类型的范围。

观察到这样的做法复杂度是 $O(n^2)$，可以通过本题。

强调“多测不清空，爆零两行泪”这一事实。

给出下列可以通过的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;

int T;
int x[N], y[N], z[N], xbm[N], sbm[N], p, q;
int fa[N];

int find(int x)
{
    return (fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]));
}

signed main()
{
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int n, h, r;
        cin >> n >> h >> r;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            cin >> x[i] >> y[i] >> z[i];
            fa[i] = i;
        }
        p = 0;
        q = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++) 
        {
            for(int j = 1;j < i;j++)
            {
                if(sqrt((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j]) + (z[i] - z[j]) * (z[i] - z[j])) <= r + r)
                {
                    int fi = find(i), fj = find(j);
                    if(fi != fj) fa[fi] = fj;
                }
            }
            if(z[i] - r <= 0) xbm[++p] = i;
            if(z[i] + r >= h) sbm[++q] = i;
        }
        bool ok = 0;
        for(int i = 1;i <= p;i++)
        {
            for(int j = 1;j <= q;j++)
            {
                if(find(xbm[i]) == find(sbm[j]))
                {
                    ok = 1;
                    break;
                }
            }
            if(ok) break;
        }
        cout << (ok ? "Yes" : "No") << endl;
    }
    return 0;
}

2025 年 1 月 4 日

第七十次全体会议

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