P2613 【模板】有理数取余（高精度数的取余问题+扩展欧几里德）

题目描述

给出一个有理数 c=a/b​，求 c mod 19260817 的值。

输入格式

一共两行。

第一行，一个整数 a。
第二行，一个整数 b。

输出格式

一个整数，代表求余后的结果。如果无解，输出 Angry!。

 

输入输出样例

输入 #1复制

233
666

输出 #1复制

18595654

说明/提示

对于所有数据，保证 0≤a≤10^10001，1≤b≤10^10001，且 a,b 不同时是 19260817 的倍数

分析：

第一步：

(a/b) mod 19260817 =a*(1/b)mod 19260817=(a mod 19260817)*(（1/b）mod 19260817)

（1/b）mod 19260817 一个小数对 一个整数取模，有何意义呢？结果是多少呢？

根据乘法逆元，在模意义下有

b*x≡1（mod p）, 假设p=19260817，x为b的逆元

（1/b）mod p =(1 (mod p))/b mod p=（(b*x）mop)/b mod p =(b*x)/b mod p= x mod p

则(a/b) mod p=ax mod p ，这样便将整数的同余推广到了有理数范围内。

则ax mod p，即为所求的答案

又因为题目中b是已知的，需要把x(b的逆元求出来)

b*x≡1（mod p）

等价于 bx+py=1的最小正整数解，可以使用扩展欧几里德求

如果gcd(b,p)=1,则有解，否则无解

最小正整数解：（x%p+p)%p

本题的最小正整数解 (ax%p+p)%p

 

以上分析基于非高精度的数，对于 0≤a≤10^10001，1≤b≤10^10001这样的高精度数又该如何处理呢？

第二步：

假设 a=x1*10^10001+x2*10^10000+x3*10^9999+...+x(10001)*10^0

则  a%p=(x1*10^10001+x2*10^10000+x3*10^9999+...+x(10001)*10^0)%p

            =((x1*10^10001%p)+(x2*10^10000%p)+(x3*10^9999%p)+...+(x(10001)*10^0%p))%p

           =((x1%p)*(10^10001%p)+(x2%p)*(10^10000%p)+(x3%p)*(10^9999%p)+...+(x(10001)%p)*(10^0%p))%p

a是高精度，可以按字符串读入，然后从高位到低位依次处理：

string s;

long long a=0;

cin>>s;

n=s.size();

for(int i=0;i<n;i++){

　　a=(a*10+s[i]-48)%p;

}