随体导数

流体质点在空间中运动时，某一瞬时的速度是其空间坐标对时间的导数，即

\[\vec{V}=\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t \]

写成分量形式，3 个方向的速度分别为

\[u=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t,v=\mathrm{d}y/\mathrm{d}t,w=\mathrm{d}z/\mathrm{d}t \]

在欧拉法中，速度指的是某一时刻位于空间某一点处的流体质点的速度，因 此速度与时间和空间坐标都有关，即

\[\vec{V}(t,x,y,z)=\vec{i}u(t,x,y,z)+\vec{j}v(t,x,y,z)+\vec{k}w(t,x,y,z) \]

流体质点的加速度是速度对时间的导数

\[\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{V}}{\mathrm{d}t}=\vec{i}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\vec{j}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\vec{k}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} \]

其中，x 方向的加速度为\(du/dt\)，速度 u 是空间坐标和时间的函数，因此有

\[a_x=\frac{\mathrm{d}u(t,x,y,z)}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} \]

已经知道空间坐标对时间的导数就是那一点的速度，所以 x 方向的加速度可以写为

\[a_x=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z} \]

同理可得另外两个方向的加速度分别为

\[\begin{gathered} a_{y} =\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z} \\ a_{z} =\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z} \end{gathered}\]

3 个方向的加速度可以统一写成矢量的形式，表示为

\[\boxed{\vec{a}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}}\quad\quad\quad\quad\quad(*) \]

此处的\(\vec{V}\cdot\nabla\)是比较特别的一种表达方式，其展开形式为

\[\vec{V}\cdot\nabla=\left(\vec{i}u+\vec{j}v+\vec{k}w\right)\cdot\left(\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z} \]

可见，在欧拉坐标下，加速度由两部分组成，其中的\({\partial\vec{V}}/{\partial t}\)只与时间相关，表示的是流体在空间某点处由于流动的非定常性而体现出来的加速度，称为当地加速度。而 \((\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\)表示的是流体质点从一点运动到另一点的过程中，由于空间 的不均匀性而产生的加速度，称为对流加速度。

式\(*\)在数学上相当于速度对时间的全导数，这个全导数还可以应用于其他的流体性质，例如压力：

\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial p}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)p \]

由于其特殊性，在流体力学中，这种对欧拉变量的全导数经常用大写的微分符号来表示，称为物质导数，或随体导数。设为\(\Phi\)流体的某种性质，物质导数的一般表达形式为

\[\frac{\mathrm{D}\mathit{\Phi}}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial\mathit{\Phi}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\mathit{\Phi} \]

与加速度的定义一样，公式中右边的第 1 项称为当地项，第 2 项称为对流项