π定理

若物理方程

\[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0 \]

共含有n个物理量\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，有k个是基本量。则这个物理方程可以简化成

\[F(\pi_1,\pi_2,\cdots,\pi_{n-k})=0 \]

这里的\(\pi_1,\pi_2,\cdots,\pi_{n-k}\)都是由方程中的物理量所构成的无量纲组合。

例如，在长度\(L\)、速度\(V\)、压力\(P\)和密度\(\rho\)中，选取\(L、V、\rho\)作为基本量，则基本量任意组合的量纲为

\[dim(L^xV^y\rho^z)=L^{x+y-3z}T^{-y}M^z \]

压力的量纲为

\[dim(P)=MLT^{-2} \]

对比两式的量纲，得到

\[z=1,y=2,x=2 \]

即得到一个无量纲组合

\[\pi=\frac{P}{\rho V^2L^2} \]