相似准则及举例

相似准则——两种物理现象保证彼此相似的条件或准则。
由于

\[\frac{F_0}{F_m}=\delta_p\delta_l^2 \delta_u^2 \]

得到

\[\frac{F_0}{F_m}=\frac{\rho_0}{\rho_m}\frac{l_0^2}{l_m^2}\frac{u_0^2}{u_m^2} \]

可写成

\[\frac{F_0}{\rho_0l_0^2u_0^2}=\frac{F_m}{\rho_ml_m^2u_m^2} \]

定义牛顿数

\[Ne=\frac{F}{\rho l^2u^2} \]

牛顿相似准则：模型与原型满足动力相似，则牛顿数必定相等。

\[Ne_0=Ne_m \]

注意\(\rho l^2u^2\)，其中\(u^2=l^2/t^2\)，则原式变为\(\rho l^4/t^2\)，而\(l/t^2\)是a，\(\rho l^3\)是m，得到原式为\(m \cdot a\)，代表惯性力。

下面根据不同的力导出不同的相似准则

重力相似准则（富鲁德准则）

取F为重力，F=Mg，则牛顿数变为

\[Ne=\frac{F}{\rho l^2u^2}=\frac{\rho Vg}{\rho l^2u^2}=\frac{\rho l^3g}{\rho l^2u^2}=\frac{gl}{u^2} \]

定义富鲁德(Froude)数

\[Fr=\frac{u}{\sqrt{gl}} \]

若原型与模型满足重力相似，则必须满足

\[\frac{u_0}{\sqrt{g_0l_0}}=\frac{u_m}{\sqrt{g_ml_m}} \]

物理意义：惯性力与重力的比值

粘性力相似准则（雷诺准则）

取F为粘性力，由于

\[F=\mu \frac{du}{dy}A \]

\[Ne=\frac{F}{\rho l^2u^2}=\frac{\mu \frac{du}{dy}A}{\rho l^2u^2}=\frac{\rho \nu \frac{u}{l}l^2}{\rho l^2u^2}=\frac{\nu}{ul} \]

定义雷诺数

\[Re=\frac{ul}{\nu} \]

\(l\)就是特征长度。
物理意义：惯性力与粘性力之比

若原型与模型满足粘性力相似，则必须满足Re相等

\[\frac{u_0l_0}{\nu_0}=\frac{u_ml_m}{\nu_m} \]

压力相似准则（欧拉准则）

由于

\[F=pA \]

则有

\[Ne=\frac{F}{\rho l^2u^2}=\frac{pA}{\rho l^2u^2}=\frac{pl^2}{\rho l^2u^2}=\frac{p}{\rho u^2} \]

定义欧拉数

\[Eu=\frac{p}{\rho u^2} \]

物理意义：压力与惯性力之比

若原型与模型满足压力相似，则必须满足Eu相等

\[\frac{p_0}{\rho_0 u_0^2}=\frac{p_m}{\rho_m u_m^2} \]

弹性力相似准则（柯西准则）

设F为弹性力，则有

\[F=KA\frac{dV}{V} \]

注：由体积弹性系数定义，有\(K=\frac{1}{\beta}=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V}\)
则弹性力的大小为：

\[F=\Delta p\cdot A=KA\frac{\Delta V}{V} \]

式中K为体积弹性系数，dV/V为体积相对变化率。

\[\frac{F}{\rho l^2u^2}=\frac{KA\frac{dV}{V}}{\rho l^2u^2}=\frac{Kl^2}{\rho l^2u^2}=\frac{K}{\rho u^2} \]

定义柯西(Cauchy)数

\[Ca=\frac{\rho u^2}{K} \]

若原型与模型弹性力相似，则必须满足\(Ca_0=Ca_m\)

物理意义：惯性力与弹性力比值

马赫准则——针对可压缩气体的柯西准则

若流场中的流体为气体，由音速公式：

\[c^2=\frac{dp}{d \rho}=\frac{1}{\rho \frac{d \rho / \rho}{dp}}=\frac{1}{\rho}\frac{1}{\beta}=\frac{K}{\rho} \]

• \(\beta\)——体积压缩系数
• \(K\)——体积弹性系数

\[Ca=\frac{\rho u^2}{K}=\frac{\rho u^2}{\rho c^2}=\frac{u^2}{c^2} \]

要求原型与模型之间满足

\[\frac{u_0}{c_0}=\frac{u_m}{c_m} \]

定义马赫数(Mach)为

\[Ma=\frac{u}{c} \]

物理意义：惯性力与弹性力的比值，称为弹性力相似准则，也叫马赫准则

表面张力相似准则（韦伯准则）

关于表面张力：
对于与空气接触的液面来说，因水的上层空间气相分子对它的吸引力小于内部液相分子对它的吸引力，所以该分子所受合力不等于零，其合力方向垂直指向液体内部，结果导致液体表面具有自动缩小的趋势，这种收缩力称为表面张力。

表面张力是液体表面层由于分子引力不均衡而产生的沿表面作用于任一界线上的张力。

表面张力产生的原因:是液体跟气体接触的表面存在一个薄层(表面层)，表面层里的分子比液体内部稀疏，分子间的距离比液体内部大一些，分子间的相互作用表现为引力。

取F为表面张力，\(F=\sigma l\)，式中\(\sigma\)为表面应力。

\[\frac{F}{\rho l^2u^2}=\frac{\sigma l}{\rho l^2u^2}=\frac{\sigma}{\rho u^2l} \]

定义韦伯(Weber)数为

\[We=\frac{\rho u^2l}{\sigma} \]

物理意义：惯性力与表面张力的比值

非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）

对于非定常流动，取F为由当地加速度引起的惯性力\(F=M\frac{\partial u}{\partial t}\)

\[\Large\frac{F}{\rho l^2u^2}=\frac{\rho V\frac{\partial u}{\partial t}}{\rho l^2u^2}=\frac{\rho l^3\frac{u}{t}}{\rho l^2u^2}=\frac{l}{ut} \]

定义斯特劳哈尔(Strouhal)数

\[Sr=\frac{l}{ut} \]

物理意义：当地惯性力与迁移惯性力的比

动力相似准则的选取

在工程实际中，模型试验往往只能满足部分相似准则，称为局部相似
（1）以粘性为主的流动，应满足雷诺相似准则
比如管中的粘性流体流动
（2）以重力为主的流动，应满足富鲁德相似准则
比如船舶航行

相似模型试验举例

直径为\(l_0=1mm\)的长形物体在密度为密度为\(\rho_0=1000kg/m^3\)、动力粘度为\(\mu_0=0.001kg/(m\cdot s)\)的水中运动。

现采用比例为\(1:100\)的模型进行模拟实验和阻力测试
实验用液体密度\(\rho_m=1263kg/m^3\)，动力粘度为\(\mu_m=1.5kg/(m\cdot s)\)，测试速度为\(u_m=30cm/s\)，测得阻力\(F_m=1.3N\)。那么由模型实验反映出原型的运动速度和阻力是多少？

解：
几何相似：采用\(1:100\)的模型，即\(\delta_l=1/100\)，则模型的直径为

\[l_m=l_0/\delta_l=100mm \]

模型雷诺数：

\[Re_m=\frac{\rho_mu_ml_m}{\mu_m}=\frac{1263\times0.3\times0.1}{1.5}=25.3 \]

按照雷诺相似准则：

\[Re_0=\frac{\rho_0u_0l_0}{\mu_0}=\frac{1000\times u_0\times0.001}{0.001}=1000u_0=Re_m=25.3 \]

得到原型的运动速度为

\[u_0=25.3\times10^-3m/s=0.0253m/s \]

根据牛顿数相等，有

\[Ne_m=\frac{F_m}{\rho_ml_m^2u_m^2}=\frac{1.3}{1263\times0.1^2\times0.3^2}=1.14 \]

\[Ne_0=\frac{F_0}{\rho_0l_0^2u_0^2}=\frac{F_0}{1000\times0.001^2\times0.0253^2} \]

得到原型在水中的运动阻力

\[F_0=1.14\times2.53^2\times10^{-7}N=7.30\times10^{-7}N \]