CFGR 23 小记

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C Permutation Operations

• 对一个 \(n-\) 排列进行 \(n\) 次操作。第 \(i\) 次操作可以将后缀全部加 \(i\)。求使得操作后序列逆序对最少的一种方案。

有很多种构造方案。我是把第 \(i\) 次操作加到 \(n-i+1\) 这个数字上。最后显然所有数字全部变成 \(n+1+Q_i\)，其中 \(Q_i\) 单调不减。

D Paths on the Tree

• \(n\) 个点的以 \(1\) 为根的树。每个点有一个权值。选择 \(k\) 条从 \(1\) 开始的简单路径覆盖在树上。使得对于每个点，它的儿子们被路径覆盖的次数之间极差为 0/1。在此基础上，最大化权值乘被覆盖次数的和。\(n \leq 10^5, k \leq 10^9\)。

先看根。假如它有 \(s\) 个儿子，那么先给它的儿子各分配 \([\frac{k}{s}]\) 条路径。剩余 \(k \bmod s\) 条路径，肯定要分配给 \(s\) 个儿子中的某几个。

dfs 处理这个问题。我们假设对于中间的一个节点 \(x\)，整除分配后还剩余 \(q\) 条路径，那么从其所有 \(s_x\) 个儿子中返回的 \(s_x\) 个可以“候补”的路径中选择前 \(q\) 大的，然后把第 \(q+1\) 大的给 \(x\) 的父亲作为其父亲的候补路径之一。这是一个不断递归的过程。

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补题

E1 Joking

• 这是一道交互题。交互库有一个不超过 \(10^5\) 的数 \(x\)。你可以询问一个数集 \(S\)，交互库会给出是否有 \(x \in S\)。然而，这个傻逼交互库可能会说谎。但它不会连续两次说谎。你有不超过 82 次询问机会和 2 次回答机会。2 次回答正确一次即为成功。

感觉是一道好题。不过听说和 IMO2012 的 idea 重了。

首先，我们发现如果确定范围里有两个数，那肯定是解决不掉了。交互库可以恶心你，让你始终找不到这两个数哪个是对的（自证）。

不过这道题给了我们 2 次回答的机会。因而这道题还是可做的。这道题最关键的部分，在于找到三个数的解法。如何将三个数确定到两个数。假设这三个数分别为 \(A,B,C\)。

我们问两次是否 \(x \in \{A\}\)。如果两次均为否，那么 \(A\) 排除。

如果回答了一次是，我们问 \(B\)。若回答为是，那么 \(C\) 排除。若回答为否，那么就是 \(A\)。

当剩余范围超过三个时，把它分为三组照上做就可以了。通过不超过三次询问，我们可以至少缩小 \(1/3\) 的范围。

不得不说非常巧妙。尤其是加粗的部分。

赛时只在想二分，一直没弄出来。根本原因是没有注意到，\(n=2\) 时是根本无法确定的。（脑子糊了）

其实也想过三分，不过没有深入想，可惜了。

F Kazaee

• 一个数列，两种操作。修改：单点修改。查询：查询 \([l,r]\) 内所有数出现的次数是否都是 \(k\) 的倍数。

注意到如果查询是 YES 的话，那么 \([l,r]\) 内的和一定整除 \(k\)。故而我们可以深挖这一性质。

随机选择 30 个 subset，关注 \([l,r]\) 内的所有在这个 subset 里面的数，若它们的和是 \(k\) 的倍数，我们就输出 YES。