做题随记
- 问一个数是否是 \(k\) 的倍数，事实上就是问这个数 \(mod\ k\) 是否等于 \(0\)。
- 当出现，一个数列，对于所有的数，满足一个固定条件就计数，并且多组询问时，考虑用前缀和。
- 最后无修改且多次询问，考虑离线下来排序后做。
- 离线的一种方式是，排序后逐个遍历所有的询问，把当前询问所需要的信息都加入，计算当前答案。
- 并查集维护集合的 \(size\) 时，只需要在合并处维护，最后查找该集合根节点 \(i\) 的 \(size_i\) 即可。
- 在一张二分图上，不断执行删边操作，”该图还是二分图“的性质是满足单调性的，即这张图变为非二分图后不可能再变回二分图。
- 给出两个点的独立关系（指规定这两个点分属不同集合），可以使用扩展域并查集，令点 \(i+n\) 为点 \(i\) 的假想敌，合并 \((x,y)\) 时，变为合并 \((x+n,y)\) 与 \((x,y+n)\)。即敌人的敌人是朋友。注意 \(f\) 数组要开两倍空间。
- 同时也可以简单的只用一个数组 \(enemy_i\) 表示 \(i\) 的一个敌人（一般取第一个即可），每次令 \(x\) 和\(enemy_y\) 合并，这样使得最后这些点都通过这个 \(eneny_y\) 串联进同一个集合。对于 \((y,enemy_x)\) 做相同操作即可。
- 注意，做扩展域并查集时，习惯的让 \(1\sim n\) 的节点当根，这样可以避免统计时的错误（比如统计 \(1\sim n\) 的集合数量时，只统计 \(1\sim n\) 中满足 \(f_i=i\) 个数的方法可能导致一些节点的根在 \(n+1\sim 2n\) 的点上而漏情况。
- 带权并查集上，求同一集内的两点之间的点的数目，应是 \(|d_x-d_y|-1\)，注意 \(-1\) 写在绝对值外面。
- 扩展域并查集判断冲突：如果 \(find_i=find_{i+n}\) 则冲突。
- 树的形态计数考虑 \(prufer\)。
- 树的结点数 \(N\) 与 点度数和 \(sumd\) 的关系：每条边贡献 \(2\) 的度，点比边多 \(1\)，故 \(sumd=2N-2\)。
- 预处理组合数的初始化：\(c_{0,0}=c_{1,0}=c_{1,1}=1,c_{i,0}=1\)。
- \(Trick\) - 均摊边：比如，要求每条边在所有生成树的出现次数，我们已知：生成树的总数量，每个生成树的边条数，于是我们可以算出所有生成树的总边数。因为每条边在生成树中出现的次数相等，所以可以把算出的总数量均摊到每一条边，算出每条边共出现几次。其实就是每个物品单独的信息不好算时，考虑若每个物品等价，则可以先算出总共的，再均摊到每一个。
- 看到异或时，考虑拆位，对每个二进制位计算贡献。例如，计算所有点对两两异或之和，此时仅当这两个点分别为 \(0,1\) 时才能产生贡献。于是对于每一位，可以分别算对于所有点，该位为 \(0,1\) 的点的个数。那该位的总贡献就是为 \(0\) 的与为 \(1\) 的两两组合的数目，乘上该位的位权。
AT_abc201_e [ABC201E] Xor Distances
- 处理树上任意两点间简单路径边权的异或和，定义为 \(dis_{i,j}\)：先从根节点开始，令每个点的点权 \(d\) 为从根节点到该点的路径上，边权的异或和。这样处理之后，因为一个数被异或两次后不变，所以 \(dis_{i,j}=d_i \oplus d_j\)。
- 表达式 \(1<<x\) 的类型取决于 \(1\) 的类型，所以写 \(1<<60\) 是会溢出的，应当写 \(1ll<<60\)。
- 输出结果需要清除前导 \(0\)。
- 清除前导 \(0\) 时注意不能全部清完，需保留一位，以防输出结果就是 \(0\)。
- 比较两个字符串的数值是否相等：\(size\) 大的数值更大，若 \(size\) 相等则直接 \(<\) 比较。
- 频繁对多个数分解质因数的方法：预处理出范围内每个数的最小质因数，此后对于一个数，每次除去它的最小质因数并统计。
- 算组合数的时候，特殊情况下，把要计算（相乘）的每个数转化为它的质因数的乘积，对他们的质因数的次数分别加减，最后再全部乘起来。
- 有时候特判的时候不一定是直接输出 \(1\)，比如此时 \(mod=1\) 就要输出 \(0\)，即特判的时候要注意是否还需要再判一次 \(mod\)。
- 利用化归的思想：把连通块视作一个点，分开考虑每个连通块内的方案数，以及各个点（实际是连通块）之间的方案数（化归到点就可以套用结论），最后再计算。
- 推数学式子的题也可能不是 \(\mathcal O(1)\) 能算答案，到最后可能需要枚举。
- 有两个未知数时，可以考虑消掉一个，具体地，可以用一个表示另一个，最后在合法区间内枚举其中一个，并判断另一个是否满足条件。常见条件有化成分数后判断是否为整数（即分子为分母倍数）。事实上，枚举的也不一定能够需要是其中一个未知数，也可以先找到一个和这两个未知数有关的式子来枚举（比如 \(y-x\)）。
- 我们期望，你用分数表示一个变量时，分子和分母分别具有相反的单调性，这样可以在满足特定条件时退出。
- 逆元算组合数时，\(inv_i\) 表示 \(i!\) 的逆元。\(fac_i,inv_i\) 都需要计算 \(i=0\) 的情况。\(0!=1\)。
- 推式子的时候，如果有满足：不能用已有公式表示、步骤间存在一定递推性、步骤中重复出现的式子，考虑用一个数组来表示（比如本题用 \(f_i\) 表示 \(i\) 对情侣在 \(i\) 排座位里，每一对都不坐在同一排的方案数），并寻找数组间邻项的关系，考虑通过递推预处理数组。
- 推式子时常常需要对当下这一项新加入的元素分类讨论不同的情况，分别推式子后组合为总答案式。
- 先判无解。先判无解。先判无解。别忘了判无解。
- 普通快速幂不能处理负指数，会死循环。
- 推出递推式子之后，观察式子是否能变成 \(\mathcal O(1)\) 求，可以通过多代几个相邻值的方法，若发现一些式最后被化掉了，使得邻项的形式也和原式类似，考虑能不能表示出通项公式（比如，使得$$f_x=...+f_{x-1} \to f_x=...+f_{x-k}$$然后再令 \(k=x-1\)，得到 \(f_x\) 与 \(f_1\) 的关系，再利用边界条件化为与 \(f\) 无关的式子。
- 可以考虑分段计算贡献，把原数组拆分成若干个具有相同特征的项（比如该题，拆成两端有限制，中间没限制的最小区间），分别计算每一个相加。此时注意考虑开头和结尾的特殊性。
- 算答案的时候，中间有除法，先除完在取模，不能中间先取模再除。
2.容斥时， \(dfs\) 比二进制枚举复杂度低，有些状态可以提前判超过限制，可以避免后面的冗余条件访问，相当于一种剪枝。 - 做容斥，二进制枚举从 \(1\) 开始。
- 加入一个新的数，更新这多个数的 \(\text lcm\)：$$\text lcm=\text lcm*a_i \div \gcd(\text lcm,a_i)$$
- 至少被 \(a\) 的一个数整除，没有保证 \(a\) 为质数（实质是互质），则需要用 \(\text lcm(a\in mask)\) 来求，而不能直接用 \(\prod a\in mask\)。求 \([L,R]\) 间能被当前所选数整除的数的个数：$$\left \lfloor \frac{R}{\text lcm(a\in mask)}\right \rfloor-\left \lfloor \frac{L-1}{\text lcm(a\in mask)}\right \rfloor$$
P5123 [USACO18DEC] Cowpatibility G
- 求有多少对完全无交集的集合：一定要直接判断对应的集合在之前出现了多少次，把每一个集合存起来，累加出现次数。存集合可以用一个 \(map<string,int>\)，先把全集排序，之后枚举时给每一个所选元素后面加一个空格，最后存入这个字符串。
- 不要直接把数字转成 \(char\)，因为数字不一定是个位数！可以用 \(to\_string\)，当然最好是输入的时候就直接当 \(string\) 来输入。
- \(n\) 个人中至少 \(i\) 个人不怎么样 = 恰好 \(i\) 个人不怎么样 + 剩下 \(n-i\) 个人无约束。
- 有 \(m\) 种东西，每种有 \(a_i\) 个，这样的分配求方案数的问题，可以把 \(m\) 种东西分开处理，每次考虑其中一种的分配方案，最后再相乘。
P5664 [CSP-S 2019] Emiya 家今天的饭
- 出现每个数的出现次数都不能超过总的一半的限制时，可以考虑到，最多只会有 \(1\) 个数不合法，因为不可能同时有两个数出现次数超过一半。
- 注意 \(dp\) 中有些状态可能根本无法到达，只能用存在的状态去更新（尤其是二维 \(dp\) 时）（计数的没关系，那些本来就是 \(0\)，但是取最大值之类的话，就有可能被错误的更新（本来这些状态不应该拿出来更新）。
- \(dp\) 习惯写某个状态从哪些旧状态转移来的递推式，而不是某个状态能转移到哪些新状态，这样可以降低复杂度。
- 初始时不想要某些状态参与更新，就赋极值。
- 与 \(0\) 下标有关的值都要考虑是否需要初始化。
- 通过取一个数的每一位把这个数算出来时，必须从个位开始。
- 数位 dp 的 \(dp_i\) 表示的是i位数的每个数出现的次数，每一位应该先加上 00，000，010 这种情况，再全部减去。
- 离散化还是 \(x,y\) 分开写吧，不要揉在一起了，以防出错。
- 养成良好的代码习惯，出错时记得要检查是不是有自己写的函数没调用（比如 cmp），自定义的函数最好是用到了再写。
- 缩点记录原边时数组要开到 \(m\)。
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