基环树

特征

1. 图中只有一个环。
2. \(N=M\)。

分类

1. 无向图上的基环树
   性质：去掉环上任一条边，图变为一棵树。

2. 内向基环树：一些边像河流一样流入一个环。可以看作一个环的一些节点上分别挂着一棵“反树”。
   性质：所有点的出度 \(=1\) 是它的充要条件。

3. 外向基环树：边从一个环出发离开这个环。
   性质：所有点的入度 \(=1\) 是它的充要条件。

注意

把环缩成一个虚点后，如果原本是无向图，那么它现在一定是一棵树；如果原本是有向图，不一定是一棵树。

一般思路与方法

1. 找到唯一的那个环，并把它当成虚点。
2. 无向图上，用拓扑排序找环：结束后度数为 \(1\) 的就是环上的点。（该方法只适用于基环树）
3. 如果只要找环上一个点：若一个点被 \(dfs\) 访问到 \(2\) 次，则在环上。（适用于有向图与无向图）

算法

1. 拓扑排序：对有向基环树，可以先对环外树部分拓扑排序，环上节点顺序需特殊处理。
2. 动态规划：在基环树上 \(dp\) 时，常用断环为链的方法：找环，断开环上一条边，枚举断边两端点的状态，转化为树问题。
3. 最短路：基环树上的最短路要分经过环和不经过环讨论。

例题

基础

P2607 [ZJOI2008] 骑士
因为每个人有且仅有一个讨厌的人，所以如果每个人让他讨厌的人向他连边，就形成了一棵外向基环树。但是注意到图不一定连通，事实上可能会形成基环树森林。

基环树，说到底还是一棵树。那么在外向基环树上要找到基环，就得沿着每个点的父亲（等同于是一棵树上，从儿子走到父亲）走才能保证走到环内，所以得记录每个点 \(i\) 的 \(fa_i\)。而在做树形 \(dp\) 的时候，要从儿子上传答案，所以得用 \(vector\) 存走向儿子的有向边。

为什么断环为链后，找另一个端点用 \(fa\)？因为一个环上的点，它的儿子可能出环了，但是它的父亲一定还是环上的点。