概率 / 期望 $dp$

抛骰子、抽卡、走迷宫等
通常会给你一个过程（比如在图上随机移动、随机抽取物品），让你计算到达某个目标状态的概率，或者完成整个过程所需的期望步数/代价。
dp[i] 表示从状态 i 到达目标状态的期望步数
方程 often 是线性的，可能需要解线性方程组或直接递推求解。如 dp[i] 依赖于 dp[i] 自己），就要想到可能是需要解方程。
【2018 NOIP提高组】 换教室
【2020 CSP-S 提高组】 函数调用
【2017 NOIP提高组】 迷宫
【2014 NOIP提高组】 解方程
线性性质
问题要求计算总和、总步数、总代价的期望
思考这个“总和”是由哪些“部分”构成的。这些“部分”通常是在整个过程中会多次发生的同类事件。

例如：游戏通关的期望时间 = 通过第1关的时间 + 通过第2关的时间 + ...

例如：屏幕上出现像素点总数的期望 = 第1个像素点出现的次数 + 第2个像素点出现的次数 + ...（可能每个像素点出现概率不同）
求和
使用“分解”的思想。整个收集过程可以看成是一系列阶段，计算每个
�
(
�
�
)
E(X
i
​
)

几何分布

首次成功发生在第几次试验。
X 的期望（平均需要试验的次数）为成功概率
�
p 的倒数。
题目中出现 “直到...为止”、“首次出现”、“第一次获得” 这类词语时，就要高度怀疑它可能是一个几何分布问题。
P1291 [SHOI2002] 百事世界杯之旅
P4550 收集邮票
P3802 小魔女帕琪
P2473 [SCOI2008] 奖励关
P1654 OSU!

P6154 游走
P3239 [HNOI2015] 亚瑟王

全概率公式
找到所有可能的前提情况
分别计算每种情况下的概率
最后，把所有这些条件概率，按照其前提情况本身发生的概率
�
(
�
�
)
P(B
i
​
) 进行加权，然后加起来，就得到了事件
�
A 的总概率。

把整个样本空间（所有可能的结果）想象成一块大蛋糕。事件
�
1
,
�
2
,
.
.
.
,
�
�
B
1
​
,B
2
​
,...,B
n
​
就像是用刀把这块蛋糕切成了互不重叠的
�
n 小块。
事件
�
A 可能散布在这块蛋糕的不同部位。
那么，事件
�
A 的总面积（即概率
�
(
�
)
P(A)），就等于它在第一块小蛋糕
�
1
B
1
​
上占据的面积，加上在第二块小蛋糕
�
2
B
2
​
上占据的面积，……，一直加到在第
�
n 块小蛋糕
�
�
B
n
​
上占据的面积。

P(A | B_i) 表示的是“在第 i 块小蛋糕中，A 所占的比例”。
P(B_i) 表示的是“第 i 块小蛋糕本身的大小”。
所以，P(A | B_i) * P(B_i) 就是 A 在第 i 块蛋糕上的绝对面积。
例子：分情况讨论，情况就是“选择哪个箱子”。这两个情况就构成了一个完备事件组。
你的DP状态是 dp[i]，表示从状态 i 到达目标状态的期望步数（或概率）。从状态 i，可能有多种不同的转移方式（比如，有概率 p1 走到状态 j1，有概率 p2 走到状态 j2，等等）。

那么，状态 i 的期望值 E(i)（也就是 dp[i]），就等于所有可能的后续状态 j 的期望值 E(j)，乘以从 i 走到 j 的概率 P(i->j)，然后求和。这个求和过程，本质上就是全概率公式的应用。

全期望公式
分情况讨论期望 条件化

随机游走问题。设
�
�
[
�
]
dp[u] 表示从节点
�
u 走到目标节点
�
T 的期望步数。
以“从 u 走一步后会到达哪个节点”为条件。

设从
�
u 出发，有概率
�
�
−

�
p
u−>v
​
走到邻居
�
v。这个“下一步到达的节点”就是我们的条件变量。

计算条件期望：

条件：如果下一步走到了
�
v。

在这个条件下，从
�
u 到
�
T 的总期望步数是多少？
总的期望步数
�
�
[
�
]
dp[u]，等于所有可能下一步的条件期望，按其概率的加权和。