简单数论学习笔记

一、基础概念

1.1 质数（素数）

• 定义：大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身外不再有其他因数的数。
• 判定原理：检查 2 到 \(\sqrt{x}\) 的所有整数是否能整除 \(x\)。若存在因子则非质数，否则为质数。因为若 \(x\) 有大于 \(\sqrt{x}\) 的因子，必然对应一个小于 \(\sqrt{x}\) 的因子。
• 优化判定：除 2、3 外，所有质数均满足 \(n \bmod 6 = 1\) 或 \(n \bmod 6 = 5\)。可先排除 2、3 及形如 \(6k\pm1\) 以外的数，再在 \(6k\pm1\) 的候选集中试除，减少循环次数。

1.2 埃氏筛（埃拉托斯特尼筛法）

• 原理：从 2 开始，将每个质数的倍数标记为合数。遍历结束后，未被标记的数即为质数。
• 时间复杂度：\(O(n \log \log n)\)。
• 优化：从 \(i^2\) 开始标记，因为小于 \(i^2\) 的倍数已被更小的质数标记过。

1.3 线性筛（欧拉筛）

• 原理：埃氏筛会重复标记同一个合数（如 6 被 2 和 3 各标记一次）。线性筛保证每个合数只被其最小质因子筛除一次，从而做到 \(O(n)\)。
• 核心机制：遍历 \(i\) 从 2 到 \(n\)，若 \(i\) 未被标记则为质数，存入质数表。然后遍历质数表，将 \(i \times prime[j]\) 标记为合数，一旦 \(i \bmod prime[j] == 0\) 则跳出循环。该跳出条件确保了每个合数只被其最小质因子标记。

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二、基础筛法题目讲解

P5736 【深基7.例2】质数筛

• 题意：输入 \(n\) 个不超过 \(10^5\) 的正整数，输出其中的所有质数。
• 思路：数据规模很小，可直接对每个数执行 \(O(\sqrt{x})\) 的质数判定；也可预先用埃氏筛或线性筛筛出 \(10^5\) 以内的质数表，然后 \(O(1)\) 查询。

P1865 A % B Problem

• 题意：多次询问区间 \([l, r]\) 内的质数个数。若区间超出 \([1, m]\) 则输出 "Crossing the line"。
• 思路：用线性筛预处理 \(1\sim m\) 的所有质数，同时维护前缀和数组 \(sum[i]\) 表示 \(1\sim i\) 中质数的个数。每次询问答案为 \(sum[r] - sum[l-1]\)，边界判断即可。时间复杂度 \(O(m)\) 预处理，\(O(1)\) 查询。

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三、线性素数筛模板题

P3383 【模板】线性筛素数

• 题意：给定 \(n\) 和 \(q\) 次询问，每次输出第 \(k\) 小的素数。
• 数据范围：\(n=10^8\)，\(q \le 10^6\)，必须使用 \(O(n)\) 的线性筛。筛出所有质数后直接下标访问输出。

P3912 素数个数

• 题意：求 \(1\sim N\) 中素数的个数，\(N \le 10^8\)。
• 思路：可用埃氏筛或线性筛统计数量。若仅需数量，埃氏筛优化后可在 \(O(n \log\log n)\) 下通过，注意内存优化（使用 bitset 或 bool 数组）。

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四、高精度加减乘除（数组 / 字符串模拟）

4.1 高精度加法

• 原理：将两个大数以字符串读入，按位存入数组（个位在索引 0）。模拟竖式加法，从低位到高位逐位相加，记录进位。结果长度最多为 \(\max(len_a, len_b) + 1\)，最后去除前导零。

4.2 高精度乘法

• 原理：模拟乘法竖式。乘数 \(b\) 的第 \(j\) 位乘以被乘数 \(a\) 的第 \(i\) 位，结果累加到 \(res[i+j]\) 中。然后统一处理进位（每位保留个位，进位加到下一位）。结果长度为 \(len_a + len_b\)，同样需去除前导零。

4.3 高精度除法（高精除以低精）

• 原理：模拟长除法。从被除数的最高位开始，维护当前余数 \(t\)。每次将 \(t\) 乘以 10 加上当前位的数字，得到当前被除数，除以除数得到商位，余数更新为模结果。最后去除商的前导零。

注意：高精度除法通常只涉及高精度除以低精度（整数），若要处理高精度除以高精度，则需实现更复杂的逐位试商法。

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五、快速幂与扩展欧几里得

5.1 快速幂（模意义）

• 作用：在 \(O(\log b)\) 时间内计算 \(a^b \bmod p\)。
• 原理：将指数 \(b\) 拆分为二进制形式，若当前二进制位为 1，则将当前底数乘入答案；底数不断平方。全程取模防止溢出。

5.2 扩展欧几里得算法（exgcd）

• 作用：求解方程 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一组整数解 \((x, y)\)。
• 原理：利用欧几里得递归关系 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。假设已求得 \(b x' + (a\bmod b) y' = \gcd\)，则可反推出 \(a x + b y = \gcd\) 的解，递推关系为：
  \(x = y'\)，\(y = x' - \lfloor a/b \rfloor \cdot y'\)。

5.3 同余方程（P1082）

• 题意：求 \(ax \equiv 1 \pmod b\) 的最小正整数解。
• 思路：等价于 \(ax + by = 1\)，用 exgcd 求出一组特解 \((x_0, y_0)\)，则通解为 \(x = x_0 + k\cdot b\)。最小正整数解为 \((x_0 \bmod b + b) \bmod b\)。

5.4 二元一次不定方程（P5656）

• 题意：求解 \(ax + by = c\)，输出正整数解的个数，以及 \(x\) 和 \(y\) 的最小、最大值。
• 思路：
  1. 先求 \(\gcd(a,b)=g\)，若 \(c \bmod g \ne 0\) 则无整数解。
  2. 用 exgcd 求 \(ax+by=g\) 的特解，然后乘以 \(c/g\) 得到原方程特解。
  3. 通解公式：\(x = x_0 + \frac{b}{g} \cdot t\)，\(y = y_0 - \frac{a}{g} \cdot t\)。
  4. 利用不等式 \(x \ge 1, y \ge 1\) 确定 \(t\) 的范围，进而计算解的个数以及 \(x_{\min}, x_{\max}, y_{\min}, y_{\max}\)。

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六、作业题思路提示

P3811 【模板】模意义下的乘法逆元

• 题意：求 \(1\sim n\) 在模 \(p\)（\(p\) 为质数）意义下的乘法逆元。
• 思路：使用线性递推公式
  \[inv[i] = (p - \frac{p}{i}) \cdot inv[p \bmod i] \bmod p \]
  初始 \(inv[1] = 1\)。时间复杂度 \(O(n)\)。

P2054 [AHOI2005] 洗牌

• 题意：一次洗牌后位置 \(x\) 变为 \(2x \bmod (n+1)\)。经过 \(m\) 次洗牌，求原来第 \(L\) 张牌现在的位置。
• 思路：原位置 \(x\) 经过 \(m\) 次后变为 \(x \cdot 2^m \bmod (n+1)\)。要求解 \(x \cdot 2^m \equiv L \pmod{n+1}\)，即 \(x \equiv L \cdot (2^m)^{-1} \pmod{n+1}\)，使用快速幂求逆元。

P5091 【模板】扩展欧拉定理

• 题意：给定 \(a, b, m\)，其中 \(b\) 极大（可达 \(10^{20000000}\)），求 \(a^b \bmod m\)。
• 思路：利用扩展欧拉定理：
  若 \(b \ge \varphi(m)\)，则 \(a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m) + \varphi(m)} \pmod m\)。
  先求 \(\varphi(m)\)，再读入大数 \(b\) 并边读边取模，同时判断是否超过 \(\varphi(m)\)，最终用快速幂计算。

P4139 上帝与集合的正确用法

• 题意：求无穷幂塔 \(2^{2^{2^{\cdots}}} \bmod p\)。
• 思路：定义函数 \(f(p)\)，利用扩展欧拉定理递归：
  \[f(p) = \begin{cases} 0 & p=1 \\ 2^{f(\varphi(p)) + \varphi(p)} \bmod p & p>1 \end{cases} \]
  因为指数部分必然大于 \(\varphi(p)\)，所以直接加 \(\varphi(p)\)。递归求解即可。

P2303 [SDOI2011] 计算器

• 题意：三合一题目，包含三种操作：
  1. 计算 \(y^z \bmod p\)（快速幂）。
  2. 解 \(xy \equiv z \pmod p\)（线性同余方程，用 exgcd）。
  3. 解 \(y^x \equiv z \pmod p\)（离散对数，用 BSGS 算法）。
• 思路：分别实现三个子程序，根据输入类型调用。

P1516 青蛙的约会

• 题意：两只青蛙在长度为 \(L\) 的环上跳，初始位置 \(x, y\)，每次分别跳 \(m, n\) 米，求相遇所需最少步数。
• 建模：相遇条件为 \((x + m t) \equiv (y + n t) \pmod L\)，即 \((m-n)t \equiv y-x \pmod L\)。令 \(a = m-n\)，\(b = L\)，\(c = y-x\)，解线性同余方程 \(a t \equiv c \pmod b\)。若 \(\gcd(a,b) \nmid c\) 则无解，否则用 exgcd 求最小非负整数解。

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