DP 学习笔记

二维 / 多维 DP

知识点

• 状态定义：使用两个或更多维度表示问题的不同阶段或约束。例如 dp[i][j] 表示处理了前 i 个元素，当前容量 / 位置 / 剩余次数为 j 时的最优值或方案数。
• 典型场景：网格路径（数字三角形）、背包问题、双线程走方格等。
• 转移方程：根据最后一步的可能决策，从之前的状态递推而来。
• 初始化：边界值（dp[0][j] 或 dp[i][0]）需根据问题设定，通常为 0、∞ 或特殊值。
• 优化技巧（了解）：
  • 滚动数组：当转移只依赖上一行时，可将第一维压缩成 2 或直接倒序枚举（0/1 背包）。
  • 降维：若状态可合并（如方格取数中两路径步数同步），可将四维降为三维。

常用技巧

• 数字三角形：从上往下（dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + a[i][j]）或从下往上（避免边界判断）。
• 背包问题：求方案数时 dp[j] = sum(dp[j], dp[j-w[i]])，注意初始化 dp[0]=1。
• 多条路径问题：利用步数相同性质，设 dp[k][i1][i2] 表示走了 k 步，第一条路径到达第 i1 行，第二条到达 i2 行，列可由 k-i 算出。

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题目题解

P1164 小 A 点菜

题意：有 n 道菜，每道菜价格 a[i]，口袋有 m 元，求正好花完 m 元的点菜方案数。每道菜只能点一次。

思路：0/1 背包求方案数。

• 状态定义：dp[j] 表示凑出 j 元的方法数。
• 初始：dp[0] = 1（不花钱有一种方案）。
• 转移：对每道菜 i，倒序枚举 j 从 m 到 a[i]，执行 dp[j] += dp[j - a[i]]。
• 答案：dp[m]。

二维理解：dp[i][j] 表示前 i 道菜凑出 j 元的方案，有 dp[i][j] = dp[i-1][j] + (j>=a[i]? dp[i-1][j-a[i]] : 0)。一维为滚动数组压缩。

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P1216 [IOI1994 / USACO1.5] 数字三角形 Number Triangles

题意：给定数字三角形，从顶部出发，每次向下或右下方移动，求路径上数字和的最大值。

思路：经典二维 DP。

• 状态定义：dp[i][j] 表示从顶部走到第 i 行第 j 列的最大和。
• 转移：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + a[i][j]（注意边界，j=1 或 j=i 时只有一个来源）。
• 答案：max(dp[n][j])。
• 优化：可自底向上递推，省去求最大值步骤：dp[i][j] = a[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])，答案即 dp[1][1]。

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P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数

题意：N×N 网格，每个格子有一个数字。从 (1,1) 走到 (N,N) 两次（路径可重叠），每次经过的格子数字会被取走（第二次经过时数字已为 0），求两次路径取数总和的最大值。

思路：等价于两人同时从 (1,1) 走到 (N,N)，且每一步同时移动。

• 状态定义：设走了 k 步，第一条路径当前在 (i1, j1)，第二条在 (i2, j2)，有 i1+j1 = i2+j2 = k+2（假设起点步数为 0）。可压缩为 dp[k][i1][i2]。
• 转移：每人可向下或向右，共 4 种组合。当前步的取值为 val = a[i1][j1] + (i1==i2 && j1==j2 ? 0 : a[i2][j2])。
• 答案：dp[2*N-2][N][N]。
• 时间复杂度 O(N^3)。

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二、区间 DP

知识点

• 状态定义：dp[l][r] 表示区间 [l, r] 上的最优值（如合并最小代价、最大得分等）。
• 转移方式：通常枚举区间长度 len，再枚举左端点 l，计算右端点 r = l+len-1。然后枚举分割点 k（l ≤ k < r），合并左右子区间。
• 经典递推：dp[l][r] = min(dp[l][k] + dp[k+1][r]) + cost(l,r)。
• 初始化：dp[i][i] 通常为 0（单点无需合并）。
• 环形处理：将序列复制一倍接到末尾，破环成链，然后对每个长度为 n 的区间取最值。

常用技巧

• 石子合并：合并代价常为区间内石子总数，可用前缀和 O(1) 计算。
• 记录最优分割点（Knuth 优化）可加速（了解）。
• 对于“消除 / 合并类”游戏（如 248 G），注意只有当相邻数字相等时才能合并，且合并后数字 +1。

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题目题解

P1775 石子合并（弱化版）

题意：n 堆石子排成一行，每次合并相邻两堆，代价为两堆石子数之和，求合并为一堆的最小总代价。

思路：基础区间 DP。

• 状态：dp[i][j] 表示合并区间 [i, j] 的最小代价。
• 转移：dp[i][j] = min_{i≤k<j}(dp[i][k] + dp[k+1][j]) + sum(i,j)，其中 sum(i,j) 为区间石子总数，可用前缀和快速得到。
• 初始化：dp[i][i]=0，其余为无穷大。
• 答案：dp[1][n]。
• 复杂度 O(n^3)，数据弱化时可通过。

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P1880 [NOI1995] 石子合并

题意：与 P1775 类似，但石子摆成环形。

思路：破环成链。

• 将石子数组复制一份接在后面，得到长度 2n 的数组。
• 对每个长度为 n 的区间 [i, i+n-1] 执行与弱化版相同的区间 DP，求出该区间的合并最小代价。
• 答案：min_{1≤i≤n} dp[i][i+n-1]。
• 同样可求最大值（题目有时要求两者），只需将 min 改为 max，并注意初始化边界。

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P3146 [USACO16OPEN] 248 G

题意：给定一行 n 个正整数（1~40），每次可选相邻两个相等数字 x 合并成 x+1，求最终能得到的最大数字。

思路：区间 DP 变种。

• 状态定义：dp[i][j] 表示区间 [i, j] 能否完全合并成一个数字，若能则记录该数字；否则为 0。
• 转移：dp[i][j] 可由两个子区间合并得到，即存在分割点 k 使得 dp[i][k] == dp[k+1][j] != 0，此时 dp[i][j] = dp[i][k] + 1。
• 初始化：dp[i][i] = a[i]。
• 答案：所有 dp[i][j] 中的最大值。
• 注意：区间长度从小到大枚举，合并时要求左右子区间都完全合并成单一数字且相等。

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三、树形 DP

知识点

• 状态定义：以树节点为下标，通常设 dp[u][state] 表示以 u 为根的子树在某种状态（如选或不选 u）下的最优值。
• 转移方式：从叶子向上（后序 DFS），通过合并子节点的信息得到父节点。
• 常见模型：
  • 树的最大独立集（没有上司的舞会）
  • 树的最小点覆盖
  • 树形背包（在树上分组背包）
  • 树的直径、最大子树和等

常用技巧

• 建图：无向边，用邻接表存储。
• DFS 时避免重复访问父节点，传入 parent 参数。
• 对于“选与不选”的问题，设计 dp[u][0] 和 dp[u][1]。
• 最大子树和：每个节点可“剪枝”掉某些子节点（即不选该子树的贡献），等价于选取一个连通子图，使得权值和最大。

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题目题解

P1352 没有上司的舞会

题意：树形结构，每个节点有快乐指数。若选了某个节点，则不能选它的父节点和子节点（即直接相邻的点不能同时选）。求最大快乐指数和。

思路：经典树形 DP。

• 状态：dp[u][0] 表示以 u 为根的子树中，不选 u 的最大快乐值；dp[u][1] 表示选 u 的最大快乐值。
• 转移：
  • dp[u][1] = a[u] + sum( dp[v][0] ) （选 u 则子节点都不能选）
  • dp[u][0] = sum( max(dp[v][0], dp[v][1]) )（不选 u，子节点可选可不选）
• 答案：max(dp[root][0], dp[root][1])。
• 任选一个根（如 1）进行 DFS。

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P1122 最大子树和

题意：树上每个节点有整数权值（可正可负）。可以删除任意节点（连同其与父节点的边），但不能删除所有节点（至少保留一个节点）。求剩下的连通块（必须包含根？题目实际是求一棵树的最大权值连通子图，不一定包含原根，但通常以任意节点为根，取最大值）的最大权值和。

思路：树形 DP 求最大子段和。

• 状态定义：dp[u] 表示以 u 为根的子树中，包含 u 的最大权值和（即选 u 及其部分后代形成的连通块）。
• 转移：dp[u] = a[u] + sum_{v∈son(u)} max(dp[v], 0)。也就是说，若子节点子树的贡献为正，则加入；否则舍弃（剪枝）。
• 答案：所有节点 dp[u] 中的最大值（因为连通块不一定从原根出发，可以以任意节点为根）。
• 注意：初始化 dp[u] = a[u]，最后求 max(dp[u])。

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四、数位 DP

知识点

• 作用：统计区间 [L, R] 内满足某种性质的数字个数或数字和。
• 核心思想：按位处理，利用记忆化搜索，状态记录当前处理到第几位、是否受上界限制、是否有前导零等。
• 模板：dfs(pos, limit, lead, ...)，返回从当前位开始构造的所有合法数的贡献。
• 常用优化：记忆化 dp[pos][state] 但只在不限位上界（!limit）时使用，因为 limit 变化少。

常用技巧

• 将 [L, R] 转化为 [0, R] - [0, L-1]。
• 处理前导零对计数的影响（例如统计数字 0 的出现次数时需单独处理）。
• 对于数字和类问题，记录当前已积累的数字和。
• 若统计每个数码的出现次数，可分别对 0~9 做一次数位 DP，或者在一个 DFS 中同时统计。

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题目题解

P2602 [ZJOI2010] 数字计数

题意：给定两个正整数 a, b，求 [a, b] 中所有数字的十进制表示中，每个数码（0~9）各出现了多少次。

思路：分别统计 0~9 每个数码的出现次数。

• 设计 dfs(pos, sum, limit, lead) 返回从当前位开始构造的所有数字中，目标数码 d 出现的总次数。
  • pos：当前处理到的位数（从高位到低位）。
  • sum：已经统计到的目标数码出现次数。
  • limit：是否受到上界限制。
  • lead：是否有前导零。
• 在 pos 到达结束位时，返回 sum。
• 对每一位枚举 0~9（根据 limit 限制），递归累加结果。
• 注意：当 d=0 时，前导零不计入统计，需要特殊处理。
• 对每个数码跑一次 DFS，记忆化状态 dp[pos][sum][lead]（limit 变化时不能用）。

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P4999 烦人的数学作业

题意：给定 L, R，求 [L, R] 中所有数字的各位数字之和的总和。例如 [1,12] 的和为 1+2+3+...+9+1+0+1+1+1+2 = ？。

思路：统计每个数字的各位和，然后累加。

• 数位 DP 状态：dfs(pos, sum, limit)，返回从当前位开始构造的所有数字的 各位数字之和的总和。
  • pos：当前位数。
  • sum：已经累计的各位数字之和（当前已确定的高位贡献）。
  • limit：上界限制。
• 记忆化：dp[pos][sum] 只在 !limit 时记录。
• 转移：枚举当前位数字 i，递归 dfs(pos-1, sum+i, limit && i==up)，然后将子结果累加到总和中。
• 边界：pos==0 时返回 sum。
• 答案：用 solve(R) - solve(L-1)。

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