雅可比矩阵

Jacobian矩阵

1. Jacobian

在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式. 还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中. 它们全部都以数学家卡尔·雅可比(Carl Jacob, 1804年10月4日－1851年2月18日)命名；英文雅可比量”Jacobian”可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən].

雅可比矩阵

雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数.

雅可比矩阵定义：　　雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵

假设\(F\): \({R_n} \to {R_m}\)是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数. 这个函数由m个实函数组成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵, 这就是所谓的雅可比矩阵：

\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.

此矩阵表示为：

J_F(x_1,\ldots,x_n) ，或者 \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}.

这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,…,m)表示的.
 如果p是Rn中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由JF(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。在此情况下，由JF(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x逼近于p

F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})

例子

由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R3

x_1 = r \sin\theta \cos\phi \,
x_2 = r \sin\theta \sin\phi \,
x_3 = r \cos\theta \,

此坐标变换的雅可比矩阵是

J_F(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \theta} & \frac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt]\frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \theta} & \frac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt]\frac{\partial x_3}{\partial r} & \frac{\partial x_3}{\partial \theta} & \frac{\partial x_3}{\partial \phi} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r \cos\theta \cos\phi & -r \sin\theta \sin\phi \\\sin\theta \sin\phi & r \cos\theta \sin\phi & r \sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r \sin\theta & 0 \end{bmatrix}.

R4的f函数:

y_1 = x_1 \,
y_2 = 5x_3 \,
y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
y_4 = x_3 \sin(x_1) \,

其雅可比矩阵为:

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt]\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt]\frac{\partial y_3}{\partial x_1} & \frac{\partial y_3}{\partial x_2} & \frac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt]\frac{\partial y_4}{\partial x_1} & \frac{\partial y_4}{\partial x_2} & \frac{\partial y_4}{\partial x_3} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}.

此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。

在动力系统中

考虑形为x' = F(x)的动力系统，F : Rn → Rn。如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。系统接近驻点时的表现通常可以从JF(x0)的特征值来决定。

 

雅可比行列式

如果m = n, 那么\(F\)是从n维空间到n维空间的函数, 且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵. 于是我们可以取它的行列式, 称为雅可比行列式.

在某个给定点的雅可比行列式提供了 在接近该点时的表现的重要信息. 例如, 如果连续可微函数\(F\)在\({\bf{p}}\)点的雅可比行列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理. 更进一步, 如果\({\bf{p}}\)点的雅可比行列式是正数, 则\(F\)在\({\bf{p}}\)点的取向不变；如果是负数, 则\(F\)的取向相反. 而从雅可比行列式的绝对值, 就可以知道函数\(F\)在\({\bf{p}}\)点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中.

对于取向问题可以这么理解, 例如一个物体在平面上匀速运动, 如果施加一个正方向的力\(F\), 即取向相同, 则加速运动, 类比于速度的导数加速度为正；如果施加一个反方向的力\(F\), 即取向相反, 则减速运动, 类比于速度的导数加速度为负.

梯度

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量

(δf/x)*i+(δf/y)*j 

这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)

类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

梯度本意是一个向量（矢量），当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点处的最大值，即函数在该点处沿方向变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

 

偏导数

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

适用领域范围
    向量分析
适用领域范围
    微分几何
意    义
    表示固定面上一点的切线斜率

引入

在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。
在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数f(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x,y)的变化率。
偏导数的表示符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

定义

x方向的偏导

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地
偏导数 偏导数
函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数(partial derivative)。记作f'x(x0,y0)。

求法


当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，
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我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。
此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，
称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

何意义

表示固定面上一点的切线斜率
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。
偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。
高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。
二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关。

 

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posted @ 2016-12-04 11:11  小孢子  阅读(6101)  评论(2)  编辑  收藏  举报