初等数论

数论：研究整数

算术基本定理

1. 若整数 n > 1，则 n 可以写为一系列的质数之积

   \[n=p_1\cdot{p_2}\cdot{p_3}\ldots \]

   上述可以拓展为分解质因数，并且又因为可能存在 \(p_i = p_j\)，所以可推导出一下公式

   \[n=p_1^{\alpha_1}\cdot{p_2^{\alpha_2}}\cdot{p_3^{\alpha_3}}\ldots \]

   分解质因数 + 合并同类项 → 上述公式

2. 当且仅当 \(a|n\)，得到以下公式

   \[a=p_1^{\beta_1}\cdot{p_1^{\beta_2}}\cdot{p_1^{\beta_3}}\ldots \]

   注：其中 \(\beta_i\leq\alpha_i\)

整除

1. \(若b|a(a\neq0)，则|b|\leq|a|\)
2. \(若b|a且a|b，则|b|\leq|a|\)
3. \(若b|a且a|c，则b|c\)
4. \(若b|a，则bc|ac\)
5. \(若b|a且b|c，则b|(ma+nc)\)

gcd与lcm

gcd：最大公约数 \((a,b)\)
lcm：最小公倍数 \([a,b]\)

1. \((a,b)\cdot{[a,b]}=a\cdot b\)
   \([a,b]=a\cdot{b/(a,b)}\)

2. 裴蜀定理：

   \((a,b)=1，则\exist{ma+nb=1}\)

3. 勒让德定理

   \(n=p_1^{\alpha_1}\cdot{p_2^{\alpha_2}}\cdot{p_3^{\alpha_3}}\ldots\)

   \(\alpha_i=\lfloor{\frac{n}{p_1}}\rfloor+\lfloor{\frac{n}{p_2}}\rfloor+\lfloor{\frac{n}{p_3}}\rfloor\ldots\)

同余理论

a，b 除以 m 所得余数相同，则称 a，b 模 m 同余，记作\(a\equiv{b}\pmod{m}\)

1. \(a\equiv{b}\pmod{m},b\equiv{c}\pmod{m}\Rightarrow{a}\equiv{c}\pmod{m}\)

2. \(a_1\equiv{b_1}\pmod{m},a_2\equiv{b_2}\pmod{m}\Rightarrow{a_1}\pm{b_1}\equiv{a_2}\pm{b_2}\pmod{m}或 a_1\cdot{b_1}\equiv{a_2}\cdot{b_2}\pmod{m}\)

3. \(a\equiv{b}\pmod{m}\Rightarrow{n}\cdot{a}\equiv{n}\cdot{b}\pmod{m}\)

完全平方数

若\(a=n^2\)，则称 a 是完全平方数

1. 平方数个位数字有且仅有：0，1，4，5，6，9

2. \((2k)^2=4的倍数\)
   \((2k+1)^2=4k^2+4k+1=4的倍数+1\)
   \(=4k(k+1)+1=8的倍数+1\)

3. \(n^2\equiv{0}\pmod{4}或n^2\equiv{1}\pmod{4}\)

4. \(n^{4p+q}\equiv{n^q}\pmod{10}\)
   \(9^k的个位数\)：9，1，9，1，9，1 ...
   \(7^k的个位数\)：7，9，3，1，7，9 ...
   \(8^k的个位数\)：8，4，2，6，8，4 ...
   由上述可知，个位数4轮一个循环

本人最近有些要事，所以本随笔暂不更新，有空了数论的每个性质都单独和大家掰扯掰扯