[CSP-S 2022] 假期计划

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题目大意

给定一个 $n \leq 2500,m \leq 10000$ 的无向图，有点权。求一条点权和最大的路径 $1\to A\to B\to C\to D\to 1$，满足：

• $A,B,C,D$ 均不为 $1$，且互不相同；
• 每一段路径上经过的点的数量小于等于 $k$。

题目分析

不难想到要通过 bfs 预处理出任意两点间距离。

然后就可以写出一个 $O(nm + n^4)$ 暴力了：直接枚举 $A, B, C, D$ 并判断是否合法。

此时注意到 $n \leq 2.5 \times 10^3$，也就是说：我们至多可以枚举两个点。

于是我们折半一下，预处理对于每个 $B$，所有 $A$（即 $1 \to A \to B$）的最大、次大、次次大的值，求值时枚举 $B, C$ 并统计即可。

时间复杂度为 $O(n(n + m))$。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

#define rint register int
#define endl '\n'
#define int long long

using namespace std;

const int N = 2.5e3 + 5;
const int M = 2e5 + 5;
const int inf = 1e18;

int n, m, k;
int ans;
int h[M], e[M], ne[M], idx;
int dist[N][N], f[N][N], pos[N][3];
int s[N];
queue<int> q;

void add(int a, int b)
{
	e[++idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
}

void init(int n)
{
	for (rint i = 1; i <= n; i++)
	{
	    for (rint j = 1; j <= n; j++)
	    {
	        dist[i][j] = inf;
	    }
	}
}

void bfs(int s)
{
	dist[s][s] = 0;
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int x = q.front();
		q.pop();
		for (rint i = h[x]; i; i = ne[i])
		{
			int y = e[i];
			if (dist[s][y] == inf)
			{
				dist[s][y] = dist[s][x] + 1;
				q.push(y);
			}
		}
	}
}

signed main()
{
	cin >> n >> m >> k;
	k += 1;
	
	init(n);
	
	for (rint i = 2; i <= n; i++)
	{
		cin >> s[i];
	}
	
	for (rint i = 1; i <= m; i++)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		add(a, b);
		add(b, a);
	}
	
	for (rint i = 1; i <= n; i++)
	{
		bfs(i);
	}
	
	for (rint i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (rint j = 1; j <= n; j++)
		{
			if (i != j && dist[1][i] <= k && dist[i][j] <= k)
			{
				f[i][j] = s[i] + s[j]; 
			}
			else
			{
				f[i][j] = -inf;
			}
		}
	}
	
	for (rint i = 2; i <= n; i++)
	{
		pos[i][1] = i;
		pos[i][2] = i;
		pos[i][3] = i;
		for (rint j = 2; j <= n; j++)
		{
			if (f[pos[i][1]][i] < f[j][i])
			{
				pos[i][3] = pos[i][2];
				pos[i][2] = pos[i][1];
				pos[i][1] = j;
			}
			else if (f[pos[i][2]][i] < f[j][i])
			{
				pos[i][3] = pos[i][2];
				pos[i][2] = j;
			}
			else if (f[pos[i][3]][i] < f[j][i])
			{
				pos[i][3] = j;
			}
		}
	}
	
	for (rint i = 2; i <= n; i++)
	{
		for (rint j = 2; j <= n; j++)
		{
			if (i != j && dist[i][j] <= k)
			{
				for (rint x = 1; x <= 3; x++)
				{
					for (rint y = 1; y <= 3; y++)
					{
						if (pos[i][x] != j && pos[i][x] != pos[j][y] && pos[j][y] != i)
						{
							ans = max(ans, f[pos[i][x]][i] + f[pos[j][y]][j]);
							break;
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
}