欧几里得算法（蒟蒻版）

上课写的，比较弱.....

 

补充：x | y表示y能整除x

 

定理1：gcd(an,bn) = n*gcd(a,b);

可以这样想：因为gcd(an,bn)必有一个n的因子，所以可以把an，bn提一个n，为n*gcd(a,b)

 

推论1：如果d | a,d | b,则d|gcd（a,b）

证明：d | a = x，d | b= y;

gcd(dx,dy) = d*gcd (x,y);

gcd(a,b) = d*gcd(x,y);

d | gcd(a,b)=d | d*gcd(x,y)= gcd (x,y);

∴d | gcd(a,b);

 

推论2：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：设gcd(a,b) = d;

则d | a，d | b;

a mod b = a - qb

∴d | a - qb(这应该明显)，d | a mod b;

∵d | b , d | a mod b

∴ d | gcd(b, a mod b){根据推论1}

∴gcd(a,b) | gcd (a, a mod b)

同理可得：

gcd(a,a mod b) |  gcd(a,b)

{

 ∵ gcd (a,a mod b) | a,gcd (a,a mod b) | a mod b，a = qb+a mod b;

∴ gcd(a,a mod b) | b (这应该很明显)

之后你懂得.....

}

 

最后一点，gcd(a,0) = a;

这个是最后算法的结束条件

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

我举个栗子你就知道了

gcd（an，a） = gcd(a,0) =?

显然等于a。

 

以上这些大部分来至于《算法导论》，然后是代码。

这是递归的写法：

int Gcd(int a, int b)
　　{
　　  if(b == 0)
　　  return a;
　　  return Gcd(b, a % b);
　　}

这是迭代的写法：

int Gcd(int a, int b)
　　{
　　  while(b != 0)
　　  {
　　   int r = b;
　　   b = a % b;
　　   a = r;
　　  }
　　 return a;
　　}

 

（完）