ABC356F Distance Component Size Query 题解

ABC356F Distance Component Size Query

题目大意

有 \(q\) 次操作和一个无向图 \(G\)，以及一个常数 \(k\)。操作有两种：

• 给定 \(x\)，若 \(x\in G\) 则从 \(G\) 中删去 \(x\)，否则将 \(x\) 插入 \(G\)，并将 \(x\) 与所有 \(y\in[x-k,x+k]\cap G\) 连边。
• 给定 \(x\)，求 \(G\) 中 \(x\) 所在连通块的大小。

Solve

若用一个有序集合 \(S\) 维护 \(G\) 中的点，并对其作差分，令差分后的集合为 \(C\)，每次操作 2 相当于查询 \(C\) 中 \(x\) 左侧第一个 \(>k\) 的数的位置 \(L\),以及 \(x\) 右侧第一个 \(>k\) 的数的位置 \(R\)，答案即为 \(R-L\)（\(R\) 不计入区间，\(L\) 计入）。

如何维护 \(S\)。

考虑把操作离线，离散化所有 \(x\)。然后以离散化后的 \(x\) 为下标建立线段树，值为 \(C\) 中 \(x\) 对应的差值。即：若 \(S\) 中 \(x\) 位于 \(p\)，则线段树上以 \(x\) 为下标的值为 \(C_p\)。

对于线段树上的每个节点 \([l,r]\)，我们再记录 \(mx\) 为 \([l,r]\) 上的最大值，\(sum\) 为 \([l,r]\) 上有多少下标已被插入 \(S\)。

修改：

• 对于插入操作：先将 \(x\) 插入 \(S\)，再查询 \(S\) 中 \(x\) 的位置 \(p\)，单点修改 \(x\) 为 \(S_p-S_{p-1}\)，\(S_{p+1}\) 为 \({S_{p+1}-x}\)。
• 对于删除操作：查询 \(S\) 中 \(x\) 的位置 \(p\)，单点修改 \(S_{p+1}\) 为 \(S_{p+1}-S_{p-1}\)。

查询：

考虑线段树二分，在查询 \([S_L,x]\) 的 \(sum\) 时遍历到了节点 \([l,r]\)：

1. 当 \(r\leq L\) 时
   • 若 \(mx\leq k\) 则直接结算，返回 \(sum\)。
   • 否则 若 \(l=r\)，说明此节点是 \(S_L\)，返回 \(1\)。
   • 否则 若右子树的 \(mx>k\)，则遍历右子树并返回查询结果，否则遍历左子树并返回 查询结果 + 右子树的 \(sum\)。
2. 否则 当 右子树与 \([S_L,x]\) 无交时，遍历左子树并返回查询结果。
3. 否则 先遍历右子树，然后查询右子树与 \([S_L,x]\) 的交区间的 \(mx'\)，若 \(mx'\leq k\)，则继续遍历左子树，否则直接返回。

查询 \((x,S_R)\) 时类似，但注意当 \(l=r\) 时应返回 \(0\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
int q,k,a[200010],x[200010],len;
bool op[200010],vis[200010];
set<int>s;
set<int>::iterator pre,nxt;
struct zzn
{
	int l,r,mx,sum;
	#define ls (p<<1)
	#define rs (p<<1|1)
	#define mid (t[p].l+t[p].r>>1)
}t[800010];
inline void upd(int p)
{
	t[p].mx=max(t[ls].mx,t[rs].mx);
	t[p].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;
}
void build(int p,int l,int r)
{
	t[p].l=l;t[p].r=r;
	if(l==r)	return;
	build(ls,l,mid);build(rs,-~mid,r);
}
void change(int p,int x,int d)
{
	if(t[p].l==t[p].r)
	{
		t[p].mx=d;t[p].sum=1;
		return;
	}
	if(mid>=x)	change(ls,x,d);
	else	change(rs,x,d);
	upd(p);
}
void del(int p,int x)
{
	if(t[p].l==t[p].r)
	{
		t[p].mx=t[p].sum=0;
		return;
	}
	if(mid>=x)	del(ls,x);
	else	del(rs,x);
	upd(p);
}
int query(int p,int l,int r)
{
	if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r)	return t[p].mx;
	int res=0;
	if(mid>=l)	res=max(res,query(ls,l,r));
	if(mid<r)	res=max(res,query(rs,l,r));
	return res;
}
int query1(int p,int r)
{
	if(t[p].r<=r)
	{
		if(t[p].mx<=k)	return t[p].sum;
		if(t[p].l==t[p].r)	return 1;
		return t[rs].mx<=k?t[rs].sum+query1(ls,r):query1(rs,r);
	}
	int res=0;
	if(mid<r)
	{
		res+=query1(rs,r);
		if(query(rs,t[rs].l,r)<=k)	res+=query1(ls,r);
	}
	else	res+=query1(ls,r);
	return res;
}
int query2(int p,int l)
{
	if(t[p].l>=l)
	{
		if(t[p].mx<=k)	return t[p].sum;
		if(t[p].l==t[p].r)	return 0;
		return t[ls].mx<=k?t[ls].sum+query2(rs,l):query2(ls,l);
	}
	int res=0;
	if(mid>=l)
	{
		res+=query2(ls,l);
		if(query(ls,l,t[ls].r)<=k)	res+=query2(rs,l);
	}
	else	res+=query2(rs,l);
	return res;
}
signed main()
{
	q=read();k=read();
	for(int i=1;i<=q;i=-~i)	op[i]=read()-1,a[i]=x[i]=read();
	sort(a+1,a+q+1);
	len=unique(a+1,a+q+1)-a-1;
	build(1,1,len);
	for(int i=1;i<=q;i=-~i)
	{
		x[i]=lower_bound(a+1,a+len+1,x[i])-a;
		if(op[i])	printf("%d\n",query1(1,x[i])+(x[i]==len?0:query2(1,x[i]+1)));
		else
		{
			s.insert(x[i]);
			auto p=s.find(x[i]);
			if(p!=s.begin())	{pre=--p;++p;}
			nxt=++p;--p;
			if(vis[x[i]])
			{
				del(1,x[i]);vis[x[i]]=0;
				if(nxt!=s.end())
					change(1,*nxt,p!=s.begin()?a[*nxt]-a[*pre]:0);//若x是第一个元素则单点修改为0，保证其<
				s.erase(p);
			}
			else
			{
				vis[x[i]]=1;
				change(1,x[i],p!=s.begin()?a[x[i]]-a[*pre]:0);
				if(nxt!=s.end())
					change(1,*nxt,a[*nxt]-a[x[i]]);
			}
		}
	}
	return 0;
}