Interval GCD 题解

题目描述

给定一个长度为 \(\large n\) 的数组 \(\large a\)，以及 \(\large m\) 条指令 (\(n\leq5\times10^5,m\leq10^5\))，每条指令可能是以下两种之一：

“\(\large\operatorname{C\ l\ r\ d}\)”，表示把 \(\large a[l],a[l+1],…,a[r]\) 都加上 \(\large d\)。

“\(\large\operatorname{Q\ l\ r}\)”，表示询问 \(\large a[l],a[l+1],…,a[r]\) 的 \(\large \gcd\)。

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Solve

1.引理

更相减损术 \(\large\gcd(a,b)=\gcd(a,a-b)\) 可利用数学归纳法扩展至 \(\large\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\gcd(a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,\cdots,a_n-a_{n-1})\)

2.思路

考虑利用差分将区间修改转化为单点修改，用线段树维护区间 \(\large\gcd\)，然后用树状数组维护前缀和以求出 \(\large a_i\) 的真实值（也可以用线段树维护）。

3.Code

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
struct seg
{
	int dat,l,r;
	#define mid (t[p].l+t[p].r>>1)
	#define ls (p<<1)
	#define rs (p<<1|1)
	#define len(p)	(t[p].r-t[p].l+1)
}t[2000010];
int gcd(int x,int y)
{
	x=abs(x);y=abs(y);//考虑负数
	if(x<y)	swap(x,y);
	if(!y)	return x;//在query中res=0，即y=0，此时直接返回x
	return x%y?gcd(y,x%y):y;
}
int n,m,a[500010],c[500010],l,r,d;
char op;
inline void upd(int p)
{
	t[p].dat=gcd(t[ls].dat,t[rs].dat);
}
void build(int p,int l,int r)
{
	t[p].l=l;t[p].r=r;
	if(l==r)
	{
		t[p].dat=a[l]-a[l-1];
		return;
	}
	build(ls,l,mid);
	build(rs,-~mid,r);
	upd(p);
}
void change(int p,int pos,int d)
{
	if(t[p].l==t[p].r)
	{
		t[p].dat+=d;
		return;
	}
	if(mid>=pos)	change(ls,pos,d);
	if(mid<pos)	change(rs,pos,d);
	upd(p);
}
int query(int p,int l,int r)
{
	if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r)	return t[p].dat;
	int res=0;
	if(mid>=l)	res=gcd(res,query(ls,l,r));
	if(mid<r)	res=gcd(res,query(rs,l,r));
	return res;
}
inline void add(int x,int y)	{for(;x<=n;x+=x&-x)	c[x]+=y;}
inline int ask(int x)	{int res=0;for(;x;x-=x&-x)	res+=c[x];return res;}
void print(int p)
{
	if(t[p].l==t[p].r)
	{
		printf("%lld ",t[p].dat);
		return;
	}
	print(ls);print(rs);
}
signed main()
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i=-~i)
		a[i]=read(),add(i,a[i]-a[i-1]);
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i=-~i)
	{
		cin>>op;
		l=read();r=read();
		if(op=='Q')
			printf("%lld\n",gcd(ask(l)/*a[l]的真实值*/,query(1,-~l,r)/*gcd(a[l+1]~a[r])*/));
		else
		{
			d=read();add(l,d);add(-~r,-d),
			change(1,l,d);
			if(r<n)	change(1,-~r,-d);//注意r=n的情况，change会越界导致bug
		}
	}
	return 0;
}