【题解】倒水

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输入数据 1

3
3 7
2 5 8
3 2020
20 24 2024
2 5
4 2

输出数据 1

YES
YES
NO

没找到原题。

算法思路

设 \(gcd(w_1,w_2,w_3,……,w_n)=g\)。

容易发现，对于倒满水和清空操作，每个水杯中的数都是 \(g\) 的倍数，并且他们的总和 \(\sum w\) 也是 \(g\) 的倍数。

考虑到对于 \(x\) 向 \(y\) 倒水的操作，对于 \(\sum w\) 贡献为 \(0\)，那么以下两种情况：

• \(x\) 全部倒出，\(a_x=0\) 是 \(g\) 的倍数，除 \(y\) 杯以外，其他杯依然 \(g\) 倍数，总和为 \(g\) 倍数，那么 \(a_y\) 是 \(g\) 倍数显然。
• \(y\) 杯倒满，同理 \(a_x\) 杯是 \(g\) 倍数显然。

因此可以证明，无论多少次操作，杯中的水为 \(g\) 倍数显然。

那么我们设合法的 \(k=t\times gcd(w_x,w_y)\)。

而扩展欧几里得可以得到：

\[\exist x_1,x_2,……,x_n,\sum x_i w_i=g \]

上式两边同时乘 \(t\)，得到：

\[\exist x_1,x_2,……,x_n,\sum (t x_i) w_i=k \]

那么 \(t x_i\) 是可以通过加满，倒出和两杯互相倒的方式实现，不难证明。

最终，存在合法的 \(k\) 的充要条件如下：

• \(k<\max{w_i}\)
• \(k\) 是 \(g\) 的倍数

Code

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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<set>
#include<cstring>
using namespace std;
#define rg register int
#define il inline
typedef long long ll;
namespace io{
    il ll read(){
        char c=getchar();
        int x=0,f=1;
        while(c<48){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
        while(c>47)x=(x*10)+(c^48),c=getchar();
        return x*f;
    }//快读
}using namespace io;
const int maxn=1e5+50;

int T,n,k,w[maxn],maxw,g;

int gcd(int x,int y){
    if(y==0)    return x;
    return gcd(y,x%y);
}

int main(){
// #ifndef ONLINE_JUDGE
// freopen("water.in","r",stdin);
// #endif
    T=read();
    while(T--){
        n=read(),k=read();maxw=0;
        for(rg i=1;i<=n;++i)    w[i]=read(),maxw=max(maxw,w[i]);
        g=w[1];
        for(rg i=2;i<=n;++i)    g=gcd(g,w[i]);
        if(k<=maxw && k%g==0)   printf("YES\n");
        else printf("NO\n");
    }
    return 0;
}