线性代数（七）对称矩阵和二次型

文章目录

• 一：对称矩阵的对角化
• • 1.1定义
  • 1.2对称矩阵对角化
  • 1.3正交对角化
  • 1.4谱定理
  • 1.5谱分解
• 二：二次型
• • 2.1定义
  • 2.2例子
  • 2.3二次型的变量代换
  • 2.4主轴定理
  • 2.5二次型分类
  • 2.6特征值和二次型分类
  • 2.7补充---正定矩阵的充要条件
• 三：奇异值分解

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一：对称矩阵的对角化

1.1定义

注：对于对角化可以参照，https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109620378

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1.2对称矩阵对角化

注：对于之前对角化，P应该是列向量是A的线性无关的特征向量，这里说明了当矩阵A是对称矩阵的时候，见下面的定理。

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1.3正交对角化

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1.4谱定理

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1.5谱分解

注：了解即可！！！！！！

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二：二次型

2.1定义

注:A是对称矩阵！！！！！

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2.2例子

注： 从这里引出了，如果二次型对应的矩阵是对角矩阵，则没有交叉项，所以后面对于对称矩阵A要进行变换成对角矩阵!!!

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2.3二次型的变量代换

注：对于定理2，见上面的正交对角化；但是对于这个变换形式见-----------线性代数（四）------暂且还没写！！！之后再补充！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
例子：



注：我没有细看，但是其原理就是在讲上面的解题思路：将二次型的对称矩阵替换成对角矩阵，再结合定理2求解问题！

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2.4主轴定理

注：待补充！！！！！！

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2.5二次型分类

注：

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2.6特征值和二次型分类

证明：


例题：

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2.7补充—正定矩阵的充要条件

注：另外，对于若A可逆，则A*A的转置是正定矩阵。
证明:

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三：奇异值分解

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参考书籍：线性代数及其应用（原书第5版）
书籍下载：https://download.csdn.net/download/qq_37534947/13115301