2个qubit的量子门

量子计算机就是基于单qubit门和双qubit门的，再多的量子操作都是基于这两种门。双qubit门比单qubit门难理解得多，不过也重要得多。它可以用来创建纠缠，没有纠缠，量子机就不可能有量子霸权。

CNOT门（受控非）

C是受控Controlled的首字母

受控非们作用在两个qubit上，一个叫控制位\(|\text{x}\rangle\)，一个叫目标位\(|\text{y}\rangle\)。如果控制位是\(0\)，目标位不变；如果控制位是\(1\)，目标就反转：

所以有

\[|00\rangle\overset{CNOT}{\rightarrow}|00\rangle，|01\rangle\overset{CNOT}{\rightarrow}|01\rangle，|10\rangle\overset{CNOT}{\rightarrow}|11\rangle，|11\rangle\overset{CNOT}{\rightarrow}|10\rangle \]

受控非们的图示是

实现的能力是

\(\oplus\)是模2加法（也就是异或）。更简单的写法是

\[|x,y\rangle\rightarrow|x,x\oplus y\rangle\ \]

控制位可以是多个基向量的叠加态，比如3qubit

CNOT的矩阵如下

\[\mathbf{CNOT}= \begin{bmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0& 0& 0&1 \\ 0& 0& 1&0 \end{bmatrix} \]

最后再看个例子巩固一下CNOT门的能力认知：

怎么快速得到这个结果呢（所谓快速就是不用去进行矩阵乘法，实际就是利用门的性质，没什么快不快）？控制位1不变，目标位与1异或（上面讲了\(\oplus\)的实际表现是异或），所以1变0，0变1。

受控U门

受控U门就是受控酉门，它把受控非门的能力泛化到了任意的酉矩阵上：当控制位是\(0\)时啥也不干；当控制位是\(1\)时，给目标位应用对应的酉矩阵\(U\)。电路图如下

\[|0x\rangle\rightarrow|0x\rangle\\ |1x\rangle\rightarrow|1,Ux\rangle \]

比如受控Z门的矩阵：

\[CZ=\begin{bmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0& 0& 1&0 \\ 0& 0& 0&-1 \end{bmatrix} \]

量子并行机制

上面这些都是量子并行性的体现，也就是把一个函数应用到叠加态的\(|x\rangle\)上

\[|x,y\rangle\overset{U_f}{\rightarrow}|x,y\oplus f(x)\rangle \]

\(f(x)\)是什么？是给一个辅助qubit应用酉矩阵\(U_f\)得到的，一般辅助位可以使用\(|0\rangle\)

假设我们制备的\(|x\rangle\)在布洛赫球的赤道上：

结果就是

\[\frac{|0,f(0)\rangle+|1,f(1)\rangle}{\sqrt{2}} \]

看出并行性了吗？结果中同时计算出了每个基向量的受控U门应用结果。

再看一个例子。我们通过使用哈德玛门制备\(|x\rangle\)

\[\frac{1}{\sqrt{2^q}}\sum_{x=0}^{2^q}|x\rangle \]

然后我们使用受控U门

根据并行机制，每个叠加态从0到\(2^q\)做控制位，目标位函数是\(7^x mod 15\)，结果是他们的和。下图是一个近似的例子

\[\frac{1}{\sqrt{r2^t}}\sum_{s=0}^{r-1}\sum_{j=0}^{2^t-1}e^{2\pi isj/r}|j\rangle|u_s\rangle \]

受控U门的实现

矩阵\(U\)可以写成

\[U=e^{i\alpha}AXBXC \]

其中\(A\)门、\(B\)门和\(C\)门都是单qubit操作，并且\(ABC=I\)。这样受控U门可以分解成下面这样

这样的分解对于相位估计和其他算法都非常重要，后面会看到。接下来顺理成章的该看看多量子位操作，当然也是基于2qubit门的。

托佛利门（TOFFOLI gate）

托佛利门有两个控制位，可以模拟标准的布尔操作：如果两个控制位都是1，就把目标位反转，所以也称作控控非门：

\[(a,b,c)\overset{托佛利门}{\rightarrow}(a,b,c\oplus ab) \]

托佛利门是幺正的，如果两次使用它，就和哈德玛门一样恢复如初：

\[(a,b,c\oplus ab)\rightarrow(a,b,c\oplus ab\oplus ab)\rightarrow(a,b,c) \]

可以通过单qubit门和双qubit门结合实现托佛利门

当然实际的实现要复杂得多，是这样的（下面这些门我们都接触过了）

控控非门的矩阵也比较大：

\[\begin{bmatrix} 1&0 &0 &0 &0 &0&0&0 \\ 0&1 &0 &0 &0 &0&0&0 \\ 0&0 &1 &0 &0 &0&0&0 \\ 0&0 &0 &1 &0 &0&0&0 \\ 0&0 &0 &0 &1 &0&0&0 \\ 0&0 &0 &0 &0 &1&0&0 \\ 0&0 &0 &0 &0 &0&0&1 \\ 0&0 &0 &0 &0 &0&1&0 \end{bmatrix} \]

再强调一下，只有两个控制位一起是1才反转：

受控SAT门

看一个受控U门的例子，来自stackexchange，先看3-SAT问题。SAT问题在逻辑学课程和高级算法课程中都会讲到。当变量增加时，它的求解难度急剧上升。

SAT问题是第一个NPC问题

这个范式中的符号的含义可以看我之前的文章《自然演算规则》

我们需要创建这样的电路：

\[|\Psi_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x\in \{0,1\}^n}|x\rangle|f_{SAT}(x)\rangle \]

也就是我们需要\(n\)个控制位，一起控制第\(n+1\)个目标位

对于上面那个3-SAT的例子，它的线路图是

下面部分是4个工作位和一个目标位，4个工作位是为了存储临时信息来制备目标位。为了重复利用qubit，通常会使用反转逻辑来重置qubit

下面这个就是完整的Grover算法电路图：

因为经过重置，辅助位不变化，所以方程中（上面的方程）通常会把他们忽略掉，而且它们存储的信息也被称为“垃圾”！

量子纠缠

再看一个创建纠缠态的例子，需要用到受控非门

\[\hat{U}_{CNOT}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle\right)\otimes|\uparrow\rangle\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1& 0& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0& 0 &0 &1 \\ 0& 0 &1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} \]

上面在使用CNOT前先使用的哈德玛门

对于不同的输入，会产生不同的纠缠结果：